भास्कर प्रमेयिका

निम्नलिख सर्वसमिका को भास्कर प्रमेयिका (Bhaskara's Lemma) कहते हैं। यह सर्वसमिका चक्रवाल विधि में प्रयुक्त होती है।

$\,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}$

जहाँ $m,\,x,\,y,\,N,$ पूर्णांक हैं और $k$ शून्येतर पूर्णांक (non-zero integer) है।

उपपत्ति

समीकरण के दोनों पक्षों को $m^{2}-N$ से गुणा करके, $N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}$ जोड़कर, इसका गुणनखण्ड करें तथा $k^{2}$ से भाग दें।

$\,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}$

$\implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}$

$\implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}$

$\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.$

जब तक न तो $k$ और न ही $m^{2}-N$ शून्य है, उपरोक्त निष्कर्ष दोनों दिशाओं में सत्य है। (implication goes in both directions). (यह भी नोट करें कि यह प्रमेयिका वास्तविक संख्याओं, पूर्णाकों और समिश्र संख्याओं -- सभी के लिए सत्य है।)

सन्दर्भ

• C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
• C. O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).

इन्हें भी देखें

• भास्कराचार्य द्वितीय
• चक्रवाल विधि

बाहरी कड़ियाँ

• Introduction to chakravala