१/२ + १/४ + १/८ + १/१६ + · · ·

प्रथम छः युत एक वर्ग के भागों के रूप में चित्रित किए गये हैं।

गणित में अनन्त श्रेणी 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · गुणोत्तर श्रेणी का एक प्रारम्भिक उदाहरण है जो निरपेक्ष अभिसारी है।

इसका जोड़ निम्न प्रकार है:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.$

साधारण उपपत्ति

माना

$X={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .$

तब

$2X=2{\frac {1}{2}}+2{\frac {1}{4}}+2{\frac {1}{8}}+2{\frac {1}{16}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =1+X.$

अतः

$2X=1+X$ और

$X=1.$

इतिहास

यह श्रेणी ज़ीनो परोक्षक के निरूपण में उपयोग की गयी थी।

ये भी देखें

• सार्धकालिक स्वर