सतत भिन्न

$\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\,\cdots}}}$

अनन्त सतत भिन्न के रूप में विस्तार का एक उदाहरण

गणित में निम्नलिखित प्रकार के व्यंजक (expression) को सतत भिन्न (continued fraction) कहते हैं।

$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}$

यहाँ, a₀ एक पूर्णांक है तथान्य सभी संख्याएँ a_i (i ≠ 0) धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि उपरोक्त सतत भिन्न में अंश एवं हर का मान कुछ भी होने की स्वतंत्रता दे दी जाय (जैसे फलन होने की छूट) तो इसे 'सामान्यीकृत सतत भिन्न' कह सकते हैं।

उपयोग

• कैलेण्डर सिद्धान्त - ग्रेगरी कैलेण्डर के किस वर्ष में ३६५ दिन और किस वर्ष में ३६६ दिन होंगे, ।इसको निर्धारित करने का आधार सतत भिन्न है।

• अपरिमेयता (irrationality) का प्रमाण

• पेल के समीकरण का हल

• आर्थोगोनल बहुपदों के वैशीष्टीकरण में

इतिहास

प्राचीन काल से ही सतत भिन्नों का उपयोग किया जा रहा है।

आर्यभट ने प्रथम डिग्री तथा द्वितीय डिग्री वाले ।अनिर्धार्य समीकरणों के हल सतत भिन्न के रूप में ही दिये हैं। सोलहवीं शताब्दी में राफेल बम्बेली ने सतत भिन्न के रूप में वर्गमूल निकाला।

इन्हें भी देखें

• दशमलव भिन्न
• अनन्त श्रेणी (Infinite series)

बाहरी कड़ियाँ

• Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
• Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree at cut-the-knot
• Francois Balsalobre cfc - a (cli) continued fraction calculator for POSIX and Cygwin
• The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions
• Continued Fraction Arithmetic Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the Internet Archive's Wayback Machine
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Continued Fraction
• Continued Fractions by Stephen Wolfram and Continued Fraction Approximations of the Tangent Function by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.