समाकलन

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किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र का चिह्नसहित क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है। ढाका

समाकलन (Integral Calculus) यह एक विशेष प्रकार की योग क्रिया है जिसमें अत्यणु (infinitesimal) मान वाली किन्तु गिनती में अत्यधिक चर राशियों को को जोड़ा जाता है। इसका एक प्रमुख उपयोग वक्राकार क्षेत्रों का क्षेत्रफल निकालने में होता है। समाकलन को अवकलन की व्युत्क्रम संक्रिया की तरह भी समझा जा सकता है।

समाकलन की परिभाषा[संपादित करें]

फलन f(x) का अनिश्चित समाकलन वह फलन है जो निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-

 \int {f(x)}dx = F(x)+c

जहाँ,  c कोई नियतांक है ; F(x) फलन  f(x) का समाकलन या एन्टी-डेरिवेटिव है ; अर्थात  F'(x) = f(x)

 \int f(x) dx को ' x के सापेक्ष  f(x) का समाकल' पढ़ते हैं।

अनिश्चित समाकल के गुण[संपादित करें]

  • \int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx
  • \int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
  • \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx

समाकलन की विधियाँ[संपादित करें]

सीधी विधि[संपादित करें]

चर परिवर्तन करके समाकलन करना[संपादित करें]

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt.

खण्डशः समाकलन (इन्टीग्रेसन बाय पार्ट्स)[संपादित करें]

\int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,\mathrm dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,\mathrm dx.

आंशिक भिन्न विधि[संपादित करें]

विभिन्न प्रकार के समाकल[संपादित करें]

\int f(x) dxअनिश्चित समाकल


\int\limits_a^b f(x) dxनिश्चित समाकल (Definite integral)


\int\limits_{-\infty}^0 f(x) dx – अनंत समाकल improper integral (=infinite integral)


\int\limits_E f(x) dx – लेबेग समाकल (Lebesgue integral)


\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS – पृष्ठ समाकल (surface integral)


\oint\limits_{S}f(x,y)\;dl – किसी बन्द वक्र के सापेक्ष वक्ररेखी समाकल

सन्दर्भ[संपादित करें]

इन्हें भी देखें[संपादित करें]

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]

आनलाइन पुस्तकें[संपादित करें]