प्रवणता

नीले तीरों द्वारा दर्शाए गई प्रवणता - किसी अदिश फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की गति और दिशा को दर्शाता है। इस चित्र में फलन के मानों को ग्रे-स्केल में दर्शाया गया है जिसमें सफेद (सबसे कम) तथा काला (सबसे अधिक) को निरुपित करता है।

प्रवणता (अंग्रेज़ी: gradient; ग्रेडिएंट), सदिश कलन (वेक्टर कैल्कुलस) में, किसी एकल-मान वाले अदिश अवकलनीय फलन $f$ की एक सदिश राशि होती है जिसकी दिशा, वह दिशा है जिसमें इस फलन के परिवर्तन की गति सबसे अधिक हो। परिवर्तन की सर्वाधिक गति का मान ही इस सदिश का परिमाण होता है। गणित में इसे $\nabla f$ द्वारा अभिव्यक्त किया जाता है जिसे ग्रेड एफ़ पढ़ते हैं।

परिभाषा

कार्तीय निर्देशांकों में

त्रिविम कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में प्रवणता निम्नलिखित रूप में पारिभाषित की जाती है-

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$$

जहाँ, i, j, k क्रमशः x, y एवं z दिशाओं में इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिये, निम्नलिखित फलन $$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$$ की प्रवणता ये है- $$\nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$$ या $$\nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.$$

बेलनी एवं गोलीय निर्देशांकों में

बेलनी निर्देशांक प्रणाली (cylindrical coordinate system) में प्रवणता का मान निम्नलिखित होगा-

$$\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$$

जहाँ ρ अक्षीय दूरी है, φ एजिमुथ कोण (azimuthal angle) है, z अक्षीय निर्देशांक है, तथा e_ρ, e_φ and e_z क्रमशः इन दिशाओं में इकाई सदिश हैं।

गोलीय निर्देशांक प्रणाली में प्रवणता का मान निम्नलिखित है:

$$\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },$$

जहाँ r त्रिज्यीय दूरी है, φ एजिमुथल कोण है और θ ध्रुवीय कोण है। e_r, e_θ एवं e_φ निर्देशांक दिशाओं के दिशा में स्थित इकाई सदिश हैं।

इन्हें भी देखें

• ताप प्रवणता