टाइम डोमेन और फ्रेक्वेन्सी डोमेन लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform) एक प्रकार का समाकल रूपान्तर (integral transform) है। यह भौतिकी एवं इंजीनियरी के अनेकानेक क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए परिपथ विश्लेषण में। इसको
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
f(t) को समिश्र अर्गुमेन्ट वाले फलन F(s) में बदल देता है।
लाप्लास रूपान्तर, प्रसिद्ध गणितज्ञ खगोलविद पिएर सिमों लाप्लास के नाम पर रखा गया है। लाप्लास रूपान्तर का उपयोग अवकल समीकरण तथा समाकल समीकरण (इंटीग्रल इक्वेशन) हल करने में किया जाता है।
F
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
=
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
अनुबन्ध यह है कि उपरोक्त समाकलन का अस्तित्व हो।
उपरोक्त प्रकार से परिभाषित लाप्लास रूपान्तर 'एकपक्षीय लाप्लास रूपान्तर' कहलाता है। लाप्लास रूपान्तर का द्विपक्षीय रूपान्तर निम्नलिखित प्रकार से पारिभाषित किया जाता है-
F
B
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
=
∫
−
∞
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F_{B}(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
L
{
a
f
(
t
)
+
b
g
(
t
)
}
=
a
L
{
f
(
t
)
}
+
b
L
{
g
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
L
{
f
′
(
t
)
}
=
s
L
{
f
(
t
)
}
−
f
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)}
L
{
f
″
(
t
)
}
=
s
2
L
{
f
(
t
)
}
−
s
f
(
0
)
−
f
′
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''(t)\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)}
L
{
f
(
n
)
(
t
)
}
=
s
n
L
{
f
(
t
)
}
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-\dots -f^{(n-1)}(0)}
=
s
n
L
{
f
(
t
)
}
−
∑
i
=
1
n
s
n
−
i
f
(
i
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle =s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)}
L
{
∫
0
−
t
f
(
τ
)
d
τ
}
=
1
s
L
{
f
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}}
L
{
t
f
(
t
)
}
=
−
F
′
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)}
L
{
e
a
t
f
(
t
)
}
=
F
(
s
−
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)}
L
{
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
}
=
e
−
a
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)}
L
−
1
{
e
−
a
s
F
(
s
)
}
=
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)}
टिप्पणी:
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
यूनिट स्टेप फलन
L
{
t
n
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
D
s
n
[
F
(
s
)
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]}
L
{
f
∗
g
}
=
F
(
s
)
G
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=F(s)G(s)}
p आवर्तकाल वाले एक आवर्ती फलन का लाप्लास रूपान्तर[ संपादित करें ]
L
{
f
}
=
1
1
−
e
−
p
s
∫
0
p
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt}
f
(
0
+
)
=
lim
s
→
∞
s
F
(
s
)
{\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}
f
(
∞
)
=
lim
s
→
0
s
F
(
s
)
{\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}
फलन
समय डोमेन
f
(
t
)
=
L
−
1
{
F
(
s
)
}
{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}}
लाप्लास s-डोमेन
F
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
अभिसरण क्षेत्र (Region of convergence)
सन्दर्भ
यूनिट इम्पल्स
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)\ }
1
{\displaystyle 1}
a
l
l
s
{\displaystyle \mathrm {all} \ s\,}
inspection
delayed impulse
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \delta (t-\tau )\ }
e
−
τ
s
{\displaystyle e^{-\tau s}\ }
time shift of
unit step
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)\ }
1
s
{\displaystyle {1 \over s}}
Re(s ) > 0
integrate unit impulse
delayed unit step
u
(
t
−
τ
)
{\displaystyle u(t-\tau )\ }
e
−
τ
s
s
{\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}}
Re(s ) > 0
time shift of
ramp
t
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle t\cdot u(t)\ }
1
s
2
{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}
Re(s ) > 0
integrate unit
n th power n )
t
n
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}
n
!
s
n
+
1
{\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}
Re(s ) > 0 n > −1)
Integrate unit
q th power q )
t
q
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}
Γ
(
q
+
1
)
s
q
+
1
{\displaystyle {\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}}
Re(s ) > 0 q ) > −1
[ 1] [ 2]
n th root
t
n
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}
Γ
(
1
n
+
1
)
s
1
n
+
1
{\displaystyle {\Gamma ({\frac {1}{n}}+1) \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}}
Re(s ) > 0
Set q = 1/n above.
n th power with frequency shift
t
n
e
−
α
t
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}
n
!
(
s
+
α
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}
Re(s ) > −α
Integrate unit step,
delayed n th power
(
t
−
τ
)
n
e
−
α
(
t
−
τ
)
⋅
u
(
t
−
τ
)
{\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}
n
!
⋅
e
−
τ
s
(
s
+
α
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}
Re(s ) > −α
Integrate unit step,
exponential decay
e
−
α
t
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ }
1
s
+
α
{\displaystyle {1 \over s+\alpha }}
Re(s ) > −α
Frequency shift of
two-sided exponential decay
e
−
α
|
t
|
{\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }
2
α
α
2
−
s
2
{\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}
−α < Re(s ) < α
Frequency shift of
exponential approach
(
1
−
e
−
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }
α
s
(
s
+
α
)
{\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}
Re(s ) > 0
Unit step minus
sine
sin
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }
ω
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}
Re(s ) > 0
Bracewell 1978 , पृष्ठ 227
cosine
cos
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }
s
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}
Re(s ) > 0
Bracewell 1978 , पृष्ठ 227
hyperbolic sine
sinh
(
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }
α
s
2
−
α
2
{\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}
Re(s ) > |α|
Williams 1973 , पृष्ठ 88
hyperbolic cosine
cosh
(
α
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }
s
s
2
−
α
2
{\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}
Re(s ) > |α|
Williams 1973 , पृष्ठ 88
exponentially decaying
e
−
α
t
sin
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }
ω
(
s
+
α
)
2
+
ω
2
{\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}
Re(s ) > −α
Bracewell 1978 , पृष्ठ 227
exponentially decaying
e
−
α
t
cos
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }
s
+
α
(
s
+
α
)
2
+
ω
2
{\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}
Re(s ) > −α
Bracewell 1978 , पृष्ठ 227
natural logarithm
ln
(
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}
−
1
s
[
ln
(
s
)
+
γ
]
{\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}
Re(s ) > 0
Williams 1973 , पृष्ठ 88
Bessel function n
J
n
(
ω
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}
(
s
2
+
ω
2
−
s
)
n
ω
n
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}
Re(s ) > 0 n > −1)
Williams 1973 , पृष्ठ 89
Error function
e
r
f
(
t
)
⋅
u
(
t
)
{\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)}
e
s
2
/
4
(
1
−
erf
(
s
/
2
)
)
s
{\displaystyle {e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}}
Re(s ) > 0
Williams 1973 , पृष्ठ 89
Explanatory notes:
प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर (inverse Laplace transform) नीचे दिए गए समिश्र समाकल द्वारा निकाला जा सकता है। इस समाकल के कई नाम हैं, जैसे ब्रोमविच समाकल (Bromwich integra), फुर्ये-मेलिन समाकल (Fourier–Mellin integral) या मेलिन का प्रतिलोम सुत्र (Mellin's inverse formula):
f
(
t
)
=
L
−
1
{
F
}
(
t
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
γ
−
i
T
γ
+
i
T
e
s
t
F
(
s
)
d
s
,
{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,}
जहाँ γ F (s )
नाभिकीय भौतिकी में जरेडियोसक्रिय क्षय को अभिव्यक्त करने वाला अवकल समीकरण नीचे दिया गया है। किसी नमूने में रेडियोसक्रिय परमाणुओं की संख्या N N
d
N
d
t
=
−
λ
N
,
{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N,}
जहाँ λ क्षय नियतांक (decay constant) है। इस समीकरण का हल लाप्लास रूपान्तर की सहायता से निकाला जा सकता है।
इस समीकरण को एक ही पक्ष (side) में ले जाकर लिखने पर,
d
N
d
t
+
λ
N
=
0.
{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}+\lambda N=0.}
अब हम इस समीकरण के दोनों पक्षों का लाप्लास रूपान्तर लेते हैं।
(
s
N
~
(
s
)
−
N
0
)
+
λ
N
~
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle \left(s{\tilde {N}}(s)-N_{0}\right)+\lambda {\tilde {N}}(s)=0,}
जहाँ
N
~
(
s
)
=
L
{
N
(
t
)
}
{\displaystyle {\tilde {N}}(s)={\mathcal {L}}\{N(t)\}}
तथा
N
0
=
N
(
0
)
.
{\displaystyle N_{0}=N(0).}
इसका हल करने पर,
N
~
(
s
)
=
N
0
s
+
λ
.
{\displaystyle {\tilde {N}}(s)={\frac {N_{0}}{s+\lambda }}.}
अन्त में हम प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तर लेते हें जिससे सामान्य हल प्राप्त होता है।
N
(
t
)
=
L
−
1
{
N
~
(
s
)
}
=
L
−
1
{
N
0
s
+
λ
}
=
N
0
e
−
λ
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}N(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{{\tilde {N}}(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {N_{0}}{s+\lambda }}\right\}\\&=\ N_{0}e^{-\lambda t},\end{aligned}}}
क्षणिक परिपथों के विश्लेषण में प्रायः लाप्लास रूपान्तर का उपयोग किया जाता है। इसके लिए परिपथ के अवयवों को s
s [ संपादित करें ] दो लूप वाला एक परिपथ पार्श्व चित्र को देखें जिसमें दो लूप हैं। इनमें बहने वाली धारा
i
1
{\displaystyle i_{1}}
i
2
{\displaystyle i_{2}}
i
1
{\displaystyle i_{1}}
i
2
{\displaystyle i_{2}}
i
1
(
0
)
=
0
{\displaystyle i_{1}(0)=0}
i
2
(
0
)
=
0
{\displaystyle i_{2}(0)=0}
किरखॉफ के नियम के अनुसार,
d
i
1
(
t
)
d
t
+
5
i
1
(
t
)
+
40
i
(
t
)
=
110
{\displaystyle {di_{1}(t) \over dt}+5i_{1}(t)+40i(t)=110}
2
d
i
2
(
t
)
d
t
+
10
i
2
(
t
)
+
40
i
(
t
)
=
110
{\displaystyle 2{di_{2}(t) \over dt}+10i_{2}(t)+40i(t)=110}
चित्र से स्पष्ट है कि
i
(
t
)
=
i
1
(
t
)
+
i
2
(
t
)
{\displaystyle i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)}
d
i
1
(
t
)
d
t
+
45
i
1
(
t
)
+
40
i
2
(
t
)
=
110
{\displaystyle {di_{1}(t) \over dt}+45i_{1}(t)+40i_{2}(t)=110}
d
i
2
(
t
)
d
t
+
20
i
2
(
t
)
+
25
i
2
(
t
)
=
55
{\displaystyle {di_{2}(t) \over dt}+20i_{2}(t)+25i_{2}(t)=55}
इन पर लाप्लास रूपान्तर लगाने पर,
s
I
1
(
s
)
−
i
1
(
0
)
+
45
I
1
(
s
)
+
40
I
2
(
s
)
=
110
s
{\displaystyle sI_{1}(s)-i_{1}(0)+45I_{1}(s)+40I_{2}(s)={\frac {110}{s}}}
s
I
2
(
s
)
−
i
2
(
0
)
+
20
I
1
(
s
)
+
25
I
2
(
s
)
=
55
s
{\displaystyle sI_{2}(s)-i_{2}(0)+20I_{1}(s)+25I_{2}(s)={\frac {55}{s}}}
या,
(
s
+
45
)
I
1
(
s
)
+
40
I
2
(
s
)
=
110
s
{\displaystyle (s+45)I_{1}(s)+40I_{2}(s)={\frac {110}{s}}}
20
I
1
(
s
)
+
(
s
+
25
)
I
2
(
s
)
=
55
s
{\displaystyle 20I_{1}(s)+(s+25)I_{2}(s)={\frac {55}{s}}}
या,
[
(
s
+
45
)
40
20
(
s
+
25
)
]
[
I
1
(
s
)
I
2
(
s
)
]
=
[
110
/
s
55
/
s
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}(s+45)&40\\20&(s+25)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}(s)\\I_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}110/s\\55/s\end{bmatrix}}}
इसका हल निम्नलिखित है:
[
I
1
(
s
)
I
2
(
s
)
]
=
1
(
s
+
25
)
(
s
+
45
)
−
800
[
(
s
+
25
)
−
40
−
20
(
s
+
45
)
]
[
110
/
s
55
/
s
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}(s)\\I_{2}(s)\end{bmatrix}}={\frac {1}{(s+25)(s+45)-800}}{\begin{bmatrix}(s+25)&-40\\-20&(s+45)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}110/s\\55/s\end{bmatrix}}}
अतः,
I
1
(
s
)
=
1
s
2
+
70
s
+
325
(
110
s
(
s
+
25
)
−
2200
s
)
=
1
(
s
+
5
)
(
s
+
65
)
(
110
+
550
s
)
{\displaystyle I_{1}(s)={\frac {1}{s^{2}+70s+325}}{\biggl (}{\frac {110}{s}}(s+25)-{\frac {2200}{s}}{\biggr )}={\frac {1}{(s+5)(s+65)}}{\biggl (}110+{\frac {550}{s}}{\biggr )}}
I
2
(
s
)
=
1
s
2
+
70
s
+
325
(
−
2200
s
+
55
s
(
s
+
45
)
)
=
1
(
s
+
5
)
(
s
+
65
)
(
55
+
275
s
)
{\displaystyle I_{2}(s)={\frac {1}{s^{2}+70s+325}}{\biggl (}-{\frac {2200}{s}}+{\frac {55}{s}}(s+45){\biggr )}={\frac {1}{(s+5)(s+65)}}{\biggl (}55+{\frac {275}{s}}{\biggr )}}
ध्यान दें कि
I
1
(
s
)
=
2
I
2
(
s
)
{\displaystyle I_{1}(s)=2I_{2}(s)}
I
2
(
s
)
{\displaystyle I_{2}(s)}
I
2
(
s
)
=
1
(
s
+
5
)
(
s
+
65
)
(
55
s
+
275
s
)
=
55
(
s
+
5
)
(
s
+
65
)
(
s
+
5
s
)
=
55
s
(
s
+
65
)
{\displaystyle I_{2}(s)={\frac {1}{(s+5)(s+65)}}{\biggl (}{\frac {55s+275}{s}}{\biggr )}={\frac {55}{(s+5)(s+65)}}{\biggl (}{\frac {s+5}{s}}{\biggr )}={\frac {55}{s(s+65)}}}
इससे,
i
2
(
t
)
=
55
65
(
1
−
e
−
65
t
)
=
11
13
(
1
−
e
−
65
t
)
{\displaystyle i_{2}(t)={\frac {55}{65}}(1-e^{-65t})={\frac {11}{13}}(1-e^{-65t})}
चूंकि
i
1
(
t
)
=
2
i
2
(
t
)
{\displaystyle i_{1}(t)=2i_{2}(t)}
i
2
(
t
)
=
22
13
(
1
−
e
−
65
t
)
{\displaystyle i_{2}(t)={\frac {22}{13}}(1-e^{-65t})}
↑ Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q .
↑ http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html Archived 2013-01-30 at the वेबैक मशीन - Wolfram Mathword provides case for complex q
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b00060fa7cef76808982bbbf43a1f773a9e9db)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4345a4c33a88daeb8ec5a3002d02d62f66ff3fb)
![{\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443e300447c3c06d1a0fe2dd051073dba815ee08)
