फूर्ये रूपान्तर

फूर्ये रूपान्तर (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम जोसेफ फूर्ये के नाम पर पड़ा है।

फूर्ये रूपान्तर समय $\scriptstyle f(t)$ के किसी फलन को एक नए फलन $\scriptstyle {\hat {f}}or\scriptstyle F,$ में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन F को फलन f का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।

{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t

प्रमुख सूत्र

	फलन	रूपान्तर	टिप्पणी
1	$af(t)+bg(t)\,$	$aF(\omega )+bG(\omega )\,$	रैखिकता
2	$f(t-a)\,$	$e^{-i\omega a}F(\omega )\,$	विलम्ब (delay)
3	$e^{iat}f(t)\,$	$F(\omega -a)\,$	आवृत्ति शिफ्ट
4	$f(at)\,$	$\|a\|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	यदि $a$ बहुत बड़ा हो तो $f(at)$ 0 के आसपास केन्द्रित होगा और $\|a\|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$ 'चपटा' हो जाएगा।
5	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}F(\omega )\,$	Свойство преобразования Фурье от $n$
6	$t^{n}f(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$
7	$(f*g)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,$	फलन $f*g$ का अर्थ है - फलन $f$ और $g$ का कॉनवोलुशन.
8	$f(t)g(t)\,$	${\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}\,$
9	$\delta (t)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$\delta (t)$ का अर्थ है - डिरैक डेल्टा फलन
10	$1\,$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )\,$
11	$t^{n}\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$
12	$e^{iat}\,$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)\,$
13	$\cos(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,$	1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,$
14	$\sin(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}\,$
15	$\exp(-at^{2})\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)\,$	इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन $\exp(-t^{2}/2)$ का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)\,$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)\,$	रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
17	${\frac {1}{t}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	यहाँ $\operatorname {sgn}(\omega )\,$ — sgn फलन (चिह्न फलन) है।
18	${\frac {1}{t^{n}}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	17 का सामान्यीकृत रूप
19	$\operatorname {sgn}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}\,$	17 का द्वैत
20	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)\,$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )\,$	यहाँ $\theta (t)\,$ — हेविसाइड फलन है।