फूर्ये रूपान्तर

यह लेख एक आधार है। जानकारी जोड़कर इसे बढ़ाने में विकिपीडिया की मदद करें।

फूर्ये रूपान्तर (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम जोसेफ फूर्ये के नाम पर पड़ा है।

फूर्ये रूपान्तर समय $\scriptstyle f(t)$ के किसी फलन को एक नए फलन $\scriptstyle {\hat {f}}or\scriptstyle F,$ में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन F को फलन f का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।

{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t

प्रमुख सूत्र[संपादित करें]

	फलन	रूपान्तर	टिप्पणी
1	$af(t)+bg(t)\,$	$aF(\omega )+bG(\omega )\,$	रैखिकता
2	$f(t-a)\,$	$e^{-i\omega a}F(\omega )\,$	विलम्ब (delay)
3	$e^{iat}f(t)\,$	$F(\omega -a)\,$	आवृत्ति शिफ्ट
4	$f(at)\,$	$\|a\|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	यदि $a$ बहुत बड़ा हो तो $f(at)$ 0 के आसपास केन्द्रित होगा और $\|a\|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$ 'चपटा' हो जाएगा।
5	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}F(\omega )\,$	Свойство преобразования Фурье от $n$
6	$t^{n}f(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$
7	$(f*g)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,$	फलन $f*g$ का अर्थ है - फलन $f$ और $g$ का कॉनवोलुशन.
8	$f(t)g(t)\,$	${\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}\,$
9	$\delta (t)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$\delta (t)$ का अर्थ है - डिरैक डेल्टा फलन
10	$1\,$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )\,$
11	$t^{n}\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$
12	$e^{iat}\,$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)\,$
13	$\cos(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,$	1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,$
14	$\sin(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}\,$
15	$\exp(-at^{2})\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)\,$	इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन $\exp(-t^{2}/2)$ का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)\,$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)\,$	रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
17	${\frac {1}{t}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	यहाँ $\operatorname {sgn}(\omega )\,$ — sgn फलन (चिह्न फलन) है।
18	${\frac {1}{t^{n}}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	17 का सामान्यीकृत रूप
19	$\operatorname {sgn}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}\,$	17 का द्वैत
20	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)\,$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )\,$	यहाँ $\theta (t)\,$ — हेविसाइड फलन है।