अवकल समीकरण

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अवकल समीकरण (डिफरेंशियल ईक्वेशंस) उन संबंधों को कहते हैं जिनमें स्वतंत्र चर तथा अज्ञात परतंत्र चर के साथ-साथ उस परतंत्र चर के एक या अधिक अवकल गुणांक (डिफ़रेंशियल कोइफ़िशेंट्स) हों।

F\left (x,y,Dy,D^2y, \ldots, D^ny\right ) = 0 एक अवकल समीकरण का सामान्य रूप है।

यदि इसमें एक परतंत्र चर तथा एक ही स्वतंत्र चर भी हो तो संबंध को साधारण (ऑर्डिनरी) अवकल समीकरण कहते हैं। जब परतंत्र चल तो एक परंतु स्वतंत्र चर अनेक हों तो परतंत्र चर के खंडावकल गुणक (partial differentials) होते हैं। जब ये उपस्थित रहते हैं तब संबंध को आंशिक (पार्शियल) अवकल समीकरण कहते हैं। परतंत्र चर को स्वतंत्र चर के पर्दो में व्यंजित करने को अवकल समीकरण का हल करना कहा जाता है।

यदि अवकल समीकरण में nवीं कक्षा (ऑर्डर) का अवकल गुणक हो और अधिक का नहीं, तो अवकल समीकरण nवीं कक्षा का कहलाता है। उच्चतम कक्षा के अवकल गुणक का घात (पॉवर) ही अवकल समीकरण का घात कहलाता है। घात ज्ञात करने के पहले समीकरण को भिन्न तथा करणी चिंहों से इस प्रकार मुक्त कर लेना चाहिए कि उसमें अवकल गुणकों पर कोई भिन्नात्मक घात न हो।

अवकल समीकरण का अनुकलन सरल नहीं है। अभी तक प्रथम कक्षा के वे अवकल समीकरण भी पूर्ण रूप से हल नहीं हो पाए हैं। कुछ अवस्थाओं में अनुकलन संभव हैं, जिनका ज्ञान इस विषय की भिन्न-भिन्न पुस्तकों से प्राप्त हो सकता है। अनुकलन करने की विधियाँ सांकेतिक रूप में यहाँ दी जाती हैं।

प्रयुक्त गणित, भौतिक विज्ञान तथा विज्ञान की अन्य शाखाओं में भौतिक राशियों को समय, स्थान, ताप इत्यादि स्वतंत्र चलों के फलनों में तुरंत प्रकट करना प्राय: कठिन हो जाता है। परंतु हम उनकी वृद्धि की दर तथा उसके अवकल गुणकों में कोई संबंध बहुधा बड़ी सुगमता से पा सकते हैं। इस प्रकार ऐसे अवकल समीकरण प्राप्त होते हैं जिन्हें पूर्वोक्त राशियाँ संतुष्ट करती हैं। इन्हें हल करना उन राशियों का ज्ञान प्राप्त करने के लिए आवश्यक होता है। इसलिए विज्ञान की उन्नति बहुत अंश तक अवकल समीकरण की प्रगति पर निर्भर है।

अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण[संपादित करें]

माना u , चर राशि x का कोई अज्ञात फलन है तथा c और ω दोनो ज्ञात नियतांक हैं।

  • Inhomogeneous first-order linear constant coefficient ordinary differential equation:
 \frac{du}{dx} = cu+x^2.
  • Homogeneous second-order linear ordinary differential equation:
 \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.
  • Homogeneous second-order linear constant coefficient ordinary differential equation describing the harmonic oscillator:
 \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0.
  • First-order nonlinear ordinary differential equation:
 \frac{du}{dx} = u^2 + 1.
  • Second-order nonlinear ordinary differential equation describing the motion of a pendulum of length L:
 L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0.

In the next group of examples, the unknown function u depends on two variables x and t or x and y.

  • Homogeneous first-order linear partial differential equation:
 \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
  • Homogeneous second-order linear constant coefficient partial differential equation of elliptic type, the Laplace equation:
 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
 \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.
  • समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation)
दो चरों के फलन f(x,y) के प्रत्येक पद मे यदि x तथा y की घातों क योग सदैव सामान रहता है, तो फलन f(x,y) समघात फलन कहलाता है ।

कुछ प्रसिद्ध अवकल समीकरण[संपादित करें]

जीवविज्ञान[संपादित करें]

अर्थशास्त्र[संपादित करें]

इन्हें भी देखें[संपादित करें]

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]