गणित में समिश्र संख्याएँ (complex number) वास्तविक संख्याओं का विस्तार है। किसी वास्तविक संख्या में एक काल्पनिक भाग जोड़ देने से समिश्र संख्या बनती है। समिश्र संख्या के काल्पनिक भाग के साथ i जुड़ा होता है जो निम्नलिखित सम्बन्ध को संतुष्ट करती है:
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1\,}
a + bi , के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें a और b दोनो ही वास्तविक संख्याएं हैं। a + bi में a को वास्तविक भाग तथा b को काल्पनिक भाग कहते हैं। उदाहरण : 3 + 4i एक समिश्र संख्या है।
समिश्र संख्या का कार्तीय निरूपण [ संपादित करें ] समिश्र संख्या को a + bi के रूप में दर्शाने को समिश्र संख्या का कार्तीय स्वरूप (Cartesian Form) कहते है।
पोलर स्वरूप (पोलर फॉर्म) [ संपादित करें ] समिश्र संख्या z = x + iy को ध्रुवीय निर्देशांकों के रूप में भी निरूपित कर सकते हैं। ध्रुवीय निर्देशांक r = |z | ≥ 0, को समिश्र संख्या का निरपेक्ष मान (absolute value) या मापांक (modulus) कहते हैं। इसी प्रकार φ = arg(z ) को z का कोणांक (argument) कहते हैं।
कार्तिय स्वरूप से ध्रुवीय स्वरूप में परिवर्तन [ संपादित करें ]
r
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
arg
(
z
)
=
atan2
(
y
,
x
)
{\displaystyle \varphi =\arg(z)=\operatorname {atan2} (y,x)}
कोणांक φ = कोणांक 2π.n फलन atan2 मुख्य मान (−π, +π] के बीच देता है। किन्तु यदि φ का ऋणात्मक मान नहिं चाहिये बल्कि [0, 2π) के बीच में चाहिये तो उस ऋणात्मक मान में 2π जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।
ध्रुवीय से कार्तीय स्वरूप में परिवर्तन [ संपादित करें ]
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \varphi }
समिश्र संख्या का पोलर स्वरूप (Notation of the polar form) [ संपादित करें ] निम्नलिखित रूप ध्रुवीय स्वरूप कहलाता है:
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )\,}
इसे cis φ से भी निरुपित करते हैं जो cos φ + i sin φ का संक्षिप्त रूप है।
यूलर का सूत्र (Euler's formula) का प्रयोग करके इसे निम्नलिखित तरीके से भी लिख सकते हैं:
z
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,}
इस स्वरूप को इक्सपोनेंशियल रूप' (exponential form) कहते हैं।
एलेक्ट्रॉनिकी में किसी फेजर (phasor) के लिये समिश्र संख्या के कोणीय निरूपण का बहुधा प्रयोग होता है। जिसमें A आयाम एवं θ कला
A
∠
θ
=
A
e
j
θ
{\displaystyle A\angle \theta =Ae^{j\theta }}
ध्यान रहे कि एलेक्ट्रॉनिकी और विद्युत अभियांत्रिकी में i के बजाय j का प्रयोग किया जाता है क्योंकि i के द्वारा विद्युत धारा का निरुपण किया जाता है।
निरपेक्ष मान एवं समिश्र-युग्म [ संपादित करें ] The absolute value (or modulus or magnitude ) of a complex number
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
|
z
|
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
The absolute value has three important properties:
|
z
|
≥
0
,
{\displaystyle |z|\geq 0,\,}
|
z
|
=
0
{\displaystyle |z|=0\,}
if and only if
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|\,}
triangle inequality )
|
z
⋅
w
|
=
|
z
|
⋅
|
w
|
{\displaystyle |z\cdot w|=|z|\cdot |w|\,}
for all complex numbers z and w . These imply that
|
1
|
=
1
{\displaystyle |1|=1}
|
z
/
w
|
=
|
z
|
/
|
w
|
{\displaystyle |z/w|=|z|/|w|}
distance function
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
{\displaystyle d(z,w)=|z-w|}
metric space and we can therefore talk about limits and continuity .
The complex conjugate
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
x
−
y
i
{\displaystyle x-yi}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}\,}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z about the real axis, and so both
z
+
z
¯
{\displaystyle z+{\bar {z}}}
z
⋅
z
¯
{\displaystyle z\cdot {\bar {z}}}
कार्तीय स्वरूप में समिश्र संक्रियाएँ [ संपादित करें ]
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle (a+b\,\mathrm {i} )+(c+d\,\mathrm {i} )=(a+c)+(b+d)\,\mathrm {i} }
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle (a+b\,\mathrm {i} )-(c+d\,\mathrm {i} )=(a-c)+(b-d)\,\mathrm {i} }
(
a
+
b
i
)
⋅
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
⋅
i
{\displaystyle (a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot \mathrm {i} }
c
+
d
i
≠
0
{\displaystyle c+d\,\mathrm {i} \neq 0}
a
+
b
i
c
+
d
i
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
+
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
⋅
i
{\displaystyle {\frac {a+b\,\mathrm {i} }{c+d\,\mathrm {i} }}={\frac {(a+b\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}{(c+d\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\cdot \mathrm {i} }
योग:
(
3
+
2
i
)
+
(
5
+
5
i
)
=
(
3
+
5
)
+
(
2
+
5
)
i
=
8
+
7
i
{\displaystyle (3+2\mathrm {i} )+(5+5\mathrm {i} )=(3+5)+(2+5)\mathrm {i} =8+7\mathrm {i} \ }
घटाना:
(
5
+
5
i
)
−
(
3
+
2
i
)
=
(
5
−
3
)
+
(
5
−
2
)
i
=
2
+
3
i
{\displaystyle (5+5\mathrm {i} )-(3+2\mathrm {i} )=(5-3)+(5-2)\mathrm {i} =2+3\mathrm {i} \ }
गुणा:
(
2
+
5
i
)
⋅
(
3
+
7
i
)
=
(
2
⋅
3
−
5
⋅
7
)
+
(
2
⋅
7
+
5
⋅
3
)
i
=
−
29
+
29
i
{\displaystyle (2+5\mathrm {i} )\cdot (3+7\mathrm {i} )=(2\cdot 3-5\cdot 7)+(2\cdot 7+5\cdot 3)\mathrm {i} =-29+29\mathrm {i} }
भाग:
(
2
+
5
i
)
(
3
+
7
i
)
=
(
2
+
5
i
)
(
3
+
7
i
)
⋅
(
3
−
7
i
)
(
3
−
7
i
)
=
(
6
+
35
)
+
(
15
i
−
14
i
)
(
9
+
49
)
+
(
21
i
−
21
i
)
=
41
+
i
58
=
41
58
+
1
58
⋅
i
{\displaystyle {(2+5\mathrm {i} ) \over (3+7\mathrm {i} )}={(2+5\mathrm {i} ) \over (3+7\mathrm {i} )}\cdot {(3-7\mathrm {i} ) \over (3-7\mathrm {i} )}={(6+35)+(15\mathrm {i} -14\mathrm {i} ) \over (9+49)+(21\mathrm {i} -21\mathrm {i} )}={41+\mathrm {i} \over 58}={41 \over 58}+{1 \over 58}\cdot \mathrm {i} }
ध्रुवीय स्वरूप में संक्रियाएं [ संपादित करें ] त्रिकोणमित्तीय स्वरूप में [ संपादित करें ]
r
⋅
(
cos
φ
+
i
⋅
sin
φ
)
⋅
s
⋅
(
cos
ψ
+
i
⋅
sin
ψ
)
=
r
⋅
s
⋅
[
cos
(
φ
+
ψ
)
+
i
⋅
sin
(
φ
+
ψ
)
]
{\displaystyle r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\;\cdot \;s\cdot (\cos \psi +\mathrm {i} \cdot \sin \psi )=r\cdot s\cdot \left[\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi +\psi )\right]}
r
⋅
(
cos
φ
+
i
⋅
sin
φ
)
s
⋅
(
cos
ψ
+
i
⋅
sin
ψ
)
=
r
s
⋅
[
cos
(
φ
−
ψ
)
+
i
⋅
sin
(
φ
−
ψ
)
]
{\displaystyle {\frac {r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )}{s\cdot (\cos \psi +\mathrm {i} \cdot \sin \psi )}}={\frac {r}{s}}\cdot \left[\cos(\varphi -\psi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi -\psi )\right]}
एक्स्पोनेंशियल रूप (Exponentil form) [ संपादित करें ]
(
r
⋅
e
i
φ
)
⋅
(
s
⋅
e
i
ψ
)
=
(
r
⋅
s
)
⋅
e
i
(
φ
+
ψ
)
{\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })\cdot (s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })=(r\cdot s)\cdot e^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}
(
r
⋅
e
i
φ
)
(
s
⋅
e
i
ψ
)
=
r
s
⋅
e
i
(
φ
−
ψ
)
{\displaystyle {\frac {(r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })}{(s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })}}={\frac {r}{s}}\cdot e^{\mathrm {i} (\varphi -\psi )}}
z
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=re^{\mathrm {i} \varphi }}
n
{\displaystyle n}
z
n
=
r
n
⋅
e
i
n
φ
=
r
n
⋅
(
cos
n
φ
+
i
⋅
sin
n
φ
)
{\displaystyle z^{n}=r^{n}\cdot e^{\mathrm {i} n\varphi }=r^{n}\cdot (\cos n\varphi +\mathrm {i} \cdot \sin n\varphi )}
या कार्तीय रूप
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }
z
n
=
∑
k
=
0
,
k
सम
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
2
a
n
−
k
b
k
+
i
∑
k
विषम
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
−
1
2
a
n
−
k
b
k
.
{\displaystyle z^{n}=\sum _{k=0,k{\text{ सम}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k{\text{ विषम}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}.}
किसी समिश्र आधार पर समिश्र घातांक के लिये सामान्य सूत्र है:
z
ω
:=
exp
(
ω
⋅
ln
z
)
,
{\displaystyle z^{\omega }:=\exp(\omega \cdot \ln z),}
यहाँ
ln
(
z
)
{\displaystyle \ln(z)}
यहाँ बहुत सावधानी की जरूरत होती है; देखिये -
1
=
1
=
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
≠
−
1
⋅
−
1
=
−
1.
{\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}\neq {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-1.}
निम्नलिखित सूत्र समिश्र संख्या
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{\mathrm {i} \phi }}
n
{\displaystyle n}
z
n
=
r
n
⋅
e
i
ϕ
+
2
k
π
n
,
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{\mathrm {i} {\frac {\phi +2k\pi }{n}}},}
जहाँ
k
{\displaystyle k}
0
,
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
समिश्र संख्या
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
ln
z
=
ln
r
+
i
ϕ
.
{\displaystyle \ln z=\ln r+\mathrm {i} \phi .}
समिश्र संख्याओं से सम्बन्धित कुछ सर्वसमिकाएँ [ संपादित करें ]
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}
z
⋅
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}}
(
z
/
w
)
¯
=
z
¯
/
w
¯
{\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}
z
¯
=
z
{\displaystyle {\bar {z}}=z}
z is real
z
¯
=
−
z
{\displaystyle {\bar {z}}=-z}
z is purely imaginary
Re
(
z
)
=
1
2
(
z
+
z
¯
)
{\displaystyle \operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}})}
Im
(
z
)
=
1
2
i
(
z
−
z
¯
)
{\displaystyle \operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})}
|
z
|
=
|
z
¯
|
{\displaystyle |z|=|{\bar {z}}|}
|
z
|
2
=
z
⋅
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}}
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
2
{\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}
z अ शून्य संख्या है।
अन्तिम वाला सूत्र किसी समिश्र संख्या का व्युत्क्रम (इन्वर्स) निकालने के लिये बहुत उपयोगी है, यदि वह संख्या कार्तीय रूप में दी गयी है।
समिश्र संख्याओं के अनुप्रयोग [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! नियंत्रण सिद्धान्त (Control theory) [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! संकेत विश्लेषण (Signal analysis) [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! क्वांटम यांत्रिकी (Quantum mechanics) [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! सापेक्षिकता (Relativity) [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! व्यावहारिक गणित (Applied mathematics) [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है! तरल गतिकी (Fluid dynamics) [ संपादित करें ] यह अनुभाग खाली है, अर्थात पर्याप्त रूप से विस्तृत नहीं है या अधूरा है। आपकी सहायता का स्वागत है!
गणनीय समुच्चय
वास्तविक संख्या
अन्य संख्या प्रणाली
![{\displaystyle r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )\;\cdot \;s\cdot (\cos \psi +\mathrm {i} \cdot \sin \psi )=r\cdot s\cdot \left[\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi +\psi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ea39ec934991e806f198895256d4227167d784)
![{\displaystyle {\frac {r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \cdot \sin \varphi )}{s\cdot (\cos \psi +\mathrm {i} \cdot \sin \psi )}}={\frac {r}{s}}\cdot \left[\cos(\varphi -\psi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi -\psi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b870970f7e5bea757e7ef808bd4122616e6c8c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{\mathrm {i} {\frac {\phi +2k\pi }{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e5c53be27bed6bca9f85da23789f4e2dbc8fcd)
