प्रत्यावर्ती श्रेणी

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गणित में प्रत्यावर्ती श्रेणी निम्न प्रकार की अनन्त श्रेणी है:

or

जहाँ  n के सभी मानों के लिए an > 0 है। एक व्यापक पद का चिह्नप्रत्यावर्ती रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होता है।

प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण[संपादित करें]

"लियबनिज़ परीक्षण" अथवा प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण के रूप में ज्ञात प्रमेय के अनुसार श्रेणी अभिसरीत होगी यदि और केवल यदि पद an एकदिष्टतः शून्य की ओर अग्रसर हो।

उपपत्ति: माना कि अनुक्रम शून्य की ओर अग्रसर है तथा यह एकदिष्टतः ह्रसमान है। यदि विषम है और , तब हम निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:

चूँकि एकदिष्टतः ह्रसमान है अतः पद ऋणात्मक है। अतः अन्त में हमें असमता प्राप्त होती है। इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि है। चूँकि शुन्य () की ओर अग्रसर है, कॉशी समीकरण के अनुसार आंशिक संकलन प्राप्त होता है अर्थात श्रेणी अभिसरित होती है।

सन्दर्भ[संपादित करें]