कौशी आव्यूह

गणित में कौशी के नाम से नामकरण किया गया कौशी आव्यूह अथवा कौशी मैट्रिक्स एक m× n का आव्यूह है जहाँ a_ij निम्न प्रकार परिभाषित है

a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n

जहाँ $x_{i}$ और $y_{j}$ क्षेत्र ${\mathcal {F}}$ के अवयव हैं और $(x_{i})$ और $(y_{j})$ एकैकी अनुक्रम हैं (इनमें पुनरावृत्‍त अवयव समाहित नहीं हैं अर्थात सभी अवयव भिन्न हैं).

हिल्बर्ट आव्यूह कौशी आव्यूह की विशेष स्थिति है, जहाँ

x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;

कौशी आव्यूह का प्रत्येक उपाआव्यूह अपने आप में एक कौशी आव्यूह है।

कौशी सारणिक

कौशी आव्यूह का सारणिक प्राचलों $(x_{i})$ और $(y_{j})$ का स्पष्ट रूप से एक परिमेय फलन होगा।

व्यापकीकरण

एक आव्यूह C कौशी स्दृश्य कहलाता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सके

C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.

X=diag(x_i), Y=diag(y_i) परिभषित करने पर, दोनों कौशी और कौशी सदृश आव्यूह विस्तापन समीकरण सन्तुष्ट करते हैं

\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }

(जहां कौशी आव्यूह के लिए $r=s=(1,1,\ldots ,1)$ )। अतः कौशी स्दृश आव्यूह एक सामान्य विस्थापन आव्यूह है,

ये भी देखें

टोएपलित्ज़ आव्यूह

सन्दर्भ

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