१ − १ + २ − ६ + २४ − १२० + · · ·

गणित में, अपसारी श्रेणी

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

को सर्वप्रथम आयलर ने प्राप्त किया गया, जिसने श्रेणी को एक परिमित मान निर्दिष्ट करने के लिए पुनरारंभ विधि लागू की।यह श्रेणी परिवर्ती चिह्न के साथ क्रमगुणित संख्याओं का योग है। अपसारी श्रेणी का साधरण तरीके से योग बोरल संकलन के उपयोग से प्राप्त किया जाता है:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx$

यदि हम संकलन (योग संकारक) को समाकलन में परिवर्तित करें तो:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx$

बड़े कोष्टक में स्थित संकलन अभिसरण करता है और इसका मान 1/(1 + x) है यदि x < 1 है। यदि हम संकलन संकारक को इसके अभिसरण परीक्षण के बिना 1/(1 + x) से प्रतिस्थापित कर दें तो हमें संकलन का अभिसारी समाकल प्राप्त होगा:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots$

जहाँ $E_{1}(z)$ चरघातांकी समाकल है।

परिणाम

k के प्रथम 10 मानों के लिए परिणाम निम्न प्रकार हैं:

k	वार्धिक गणना	वार्धिक	परिणाम
0	1 × 0! = 1*1	1	1
1	-1 × 1	-1	0
2	1 × 2×1	2	2
3	-1 × 3×2×1	-6	-4
4	1 × 4×3×2×1	24	20
5	-1 × 5×4×3×2×1	-120	-100
6	1 × 6×5×4×3×2×1	720	620
7	-1 × 7×6×5×4×3×2×1	-5040	-4420
8	1 × 8×7×6×5×4×3×2×1	40320	35900
9	-1 × 9×8×7×6×5×4×3×2×1	-362880	-326980

ये भी देखें

• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·