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गणित में, अपसारी श्रेणी

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k!

को सर्वप्रथम आयलर ने प्राप्त किया गया, जिसने श्रेणी को एक परिमित मान निर्दिष्ट करने के लिए पुनरारंभ विधि लागू की।[1]यह श्रेणी परिवर्ती चिह्न के साथ क्रमगुणित संख्याओं का योग है। अपसारी श्रेणी का साधरण तरीके से योग बोरल संकलन के उपयोग से प्राप्त किया जाता है:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^\infty x^k \exp(-x) \, dx

यदि हम संकलन (योग संकारक) को समाकलन में परिवर्तित करें तो:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \int_0^\infty \left[\sum_{k=0}^\infty (-x)^k \right]\exp(-x) \, dx

बड़े कोष्टक में स्थित संकलन अभिसरण करता है और इसका मान 1/(1 + x) है यदि x < 1 है। यदि हम संकलन संकारक को इसके अभिसरण परीक्षण के बिना 1/(1 + x) से प्रतिस्थापित कर दें तो हमें संकलन का अभिसारी समाकल प्राप्त होगा:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} k! = \int_0^\infty \frac{\exp(-x)}{1+x} \, dx = e E_1 (1) \approx 0.596347362323194074341078499369\ldots

जहाँ E_1 (z) चरघातांकी समाकल है।

परिणाम[संपादित करें]

k के प्रथम 10 मानों के लिए परिणाम निम्न प्रकार हैं:

k वार्धिक
गणना
वार्धिक परिणाम
0 1 × 0! = 1*1 1 1
1 -1 × 1 -1 0
2 1 × 2×1 2 2
3 -1 × 3×2×1 -6 -4
4 1 × 4×3×2×1 24 20
5 -1 × 5×4×3×2×1 -120 -100
6 1 × 6×5×4×3×2×1 720 620
7 -1 × 7×6×5×4×3×2×1 -5040 -4420
8 1 × 8×7×6×5×4×3×2×1 40320 35900
9 -1 × 9×8×7×6×5×4×3×2×1 -362880 -326980

ये भी देखें[संपादित करें]

टिप्पणी[संपादित करें]

  1. एल॰ आयलर, De seriebus divergentibus, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, (1760) (205).