गति के समीकरण

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गति के समीकरण, ऐसे समीकरणों को कहते हैं जो किसी पिण्ड के स्थिति, विस्थापन, वेग आदि का समय के साथ सम्बन्ध बताते हैं।

गति के समीकरणों का स्वरूप भिन्न-भिन्न हो सकता है। यह इस बात पर निर्भर करता है कि गति में स्थानान्तरण हो रहा है या केवल घूर्ण है या दोनो हैं; एक ही बल काम कर रहा है या कई; बल (त्वरण) नियत है या परिवर्तनशील; पिण्ड का द्रव्यमान स्थिर है या बदल रहा है (जैसे रॉकेट में) आदि।

परम्परागत भौतिकी (क्लासिकल फिजिक्स) में गति का समीकरण इस प्रकार है :


m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = \sum_i \vec F_i(\vec r,t)
.

इसे निम्नलिखित रूप में भी लिखा जा सकता है :


m \cdot \vec a = \sum_i \vec F_i

जहाँ m, वस्तु का द्रव्यमान है; तथा  \vec F_i(\vec r,t) वस्तु पर लगने वाले बल हैं।

नियत त्वरण के अधीन रेखीय गति के समीकरण[संपादित करें]

यदि कोई वस्तु एक नियत त्वरण के अन्तर्गत रेखीय गति कर रही है (उदाहरणः पृथ्वी के गुरुत्व बल के आधीन किसी वस्तु का मुक्त रूप से गिरना) तो :

v = u+at \,...(१)
s = \frac {1} {2}(u+v) t ...(२)
s = ut + \frac {1} {2} a t^2 ...(३)
s = vt - \frac {1} {2} a t^2 ...(४)
v^2 = u^2 + 2 a s \,...(५)

समीकरण (२) और (१) को मिलाकर समीकरण (३), (४) एवं (५) प्राप्त किये जा सकते हैं।

उपरोक्त समीकरणों में,

s = विस्थापन है (आरम्भिक स्थिति से अन्तिम स्थिति तक का स्थिति सदिश)
u = आरम्भिक वेग
v = अन्तिम वेग
a = अपरिवर्तनशील त्वरण
t = समय, अर्थात वस्तु द्वारा आरम्भ की स्थिति से अन्तिम स्थिति तक पहुँचने में लिया गया समय

घूर्णीय गति के समीकरण (Rotational equations of motion)[संपादित करें]

यदि वस्तु नियत कोणीय त्वरण के अन्तर्गत घूर्णन कर रही है तो उपरोक्त समीकरणॉ की भाँति उसकी घूर्णीय गति को व्यक्त करने वाले समीकरण इस प्रकार होंगे:

 \omega = \omega_0 + \alpha t \,
 \phi = \phi_0 
+ \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}(\omega_0 + \omega)t
 \phi = \phi_0 + \omega_0 t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}\alpha {t^2} \,
 (\omega)^2 = (\omega_0)^2 + 2\alpha \Delta \phi \,
 \phi = \phi_0 + \omega t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}\alpha {t^2} \,

जहाँ :

\alpha  कोणीय त्वरण (angular acceleration) है
\omega  कोणीय वेग (angular velocity) है
\phi  कोणीय विस्थापन (angular displacement) है
\omega_0  प्रारम्भिक कोणीय वेग (initial angular velocity) है
\phi_0  प्रारम्भिक कोणीय विस्थापन (initial angular displacement)
\Delta \phi  कोणीय विस्थापन में परिवर्तन (\phi - \phi_0). है

इन्हें भी देखें[संपादित करें]

वाह्य सूत्र[संपादित करें]