लग्रान्ज बहुपद

लग्रान्ज बहुपदों (Lagrange polynomials) का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण (numerical analysis) में होता है।

परिभाषा

माना k + 1 बिन्दुओं का निम्नलिखित समुच्चय दिया हुआ है

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

जहाँ सभी x_j एक दूसरे से भिन्न हैं, तो निम्नलिखित अंतर्वेशी बहुपद (interpolating polynomial) लग्रानज बहुपद कहलाता है-

$L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)$

जहाँ आधार बहुपद निम्नलिखित है-

$\ell _{j}(x)=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{j}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}}{\frac {x-x_{j+1}}{x_{j}-x_{j+1}}}\cdots {\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}}$

उदाहरण

tan y का अन्तर्वेशन

माना फलन $f(x)=\tan(x)$ पर कुछ बिन्दु लेते हैं,

$x_{0}=-1.5$	$f(x_{0})=-14.1014$
$x_{1}=-0.75$	$f(x_{1})=-0.931596$
$x_{2}=0$	$f(x_{2})=0$
$x_{3}=0.75$	$f(x_{3})=0.931596$
$x_{4}=1.5$	$f(x_{4})=14.1014$

इन ५ बिन्दुओं के लिये अन्तर्वेशन बहुपद ४ घात का होगा।

आधार बहुपद निम्नलिखित हैं-

$\ell _{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)$

$\ell _{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$\ell _{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={1 \over 243}(243-540x^{2}+192x^{4})$

$\ell _{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$\ell _{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3)$

इस प्रकार, निम्नलिखित अन्तर्वेशन बहुपद प्राप्त होता है-

${1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$+f(x_{2})(243-540x^{2}+192x^{4})-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\,$

$+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\,$

$=-1.47748x+4.83456x^{3}.\,$