पूर्ण वर्ग बनाना

आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c\,\!$ को $a(x - h)^2 + k\,$ के रूप में बदलने को पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square) कहते हैं। यहाँ h तथा k का मान x से स्वतंत्र है। नीचे इसके कुछ उदाहरण दिये हैं-

$\begin{alignat}{1} x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt] x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt] x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6. \end{alignat}$

उपयोग

गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-

• वर्ग समीकरण के हल में
• द्विघात बहुपदों के अधिकतम और न्यूनतम मान निकालने के लिये
• द्विपद फलनों के आरेखण (graphing) में
• कैलकुलस में समाकल (integral) निकालने में
• लाप्लास रूपान्तर (finding [[Laplace transforms) प्राप्त करने में

उदाहरण

$\begin{align}5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\ &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^2\right) - 6 - 5\left({7 \over 10}\right)^2 \\ &{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10} \\ &{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {6\cdot 20 + 7^2 \over 20} \\ &{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20}. \end{align}$

सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला)

यदि a धनात्मक हो तो,

$a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e , \,\!$

जहाँ,

$\begin{align} c &{}= \sqrt{a} ,\\ d &{}= \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\ e &{}= -d^2\\ &{}= -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2\\ &{}= -\frac{b^2}{4a} . \end{align}$

अर्थात् -

$a x^2 + b x = \left(\sqrt{a}\,x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} . \,\!$

पूर्ण वर्ग बनाकर वर्ग समीकरण का हल

$x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!$

सबसे पहला चरण है - पूर्ण वर्ग बनाना,

$(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!$

इसके बाद दो-घात वाले पद का मान प्राप्त करते हैं,

$(x+3)^2 = 4.\,\!$

इससे स्पष्ट है कि,

$x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,$

अतः

$x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.$

यह विधि किसी भी वर्ग समीकरण के लिये लगायी जा सकती है। जब x² का गुणांक 1 के बजाय कुछ और हो तो सबसे पहले पूरे समीकरण को इस गुणांक से विभाजित कर देना चाहिये और उसके बाद उपरोक्त रीति से आगे बढ़ना चाहिये।

पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन

निम्नलिखित समाकलन की गणना करने के लिये,

$\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x$

पूर्ण वर्ग बनाने पर,

$4x^2-8x+13 = \ldots = 4(x-1)^2+9\,.$

अतः

$\begin{align}\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x & = \frac{1}{4}\int\frac{1}{(x-1)^2+(\frac{3}{2})^2}\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\arctan\frac{2(x-1)}{3}+ C \end{align}$

क्योंकि,

$\int\frac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$

इन्हें भी देखें

• श्रीधराचार्य
• वर्ग समीकरण