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आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k\,}
पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square) कहते हैं। यहाँ h तथा k का मान x से स्वतंत्र है। नीचे पूर्ण वर्ग बनाने के कुछ उदाहरण दिये हैं-
x
2
+
6
x
+
11
=
(
x
+
3
)
2
+
2
x
2
+
14
x
+
30
=
(
x
+
7
)
2
−
19
x
2
−
2
x
+
7
=
(
x
−
1
)
2
+
6.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-
वर्ग समीकरण के हल मेंद्विघात बहुपदों के अधिकतम और न्यूनतम मान निकालने के लिये
द्विपद फलनों के आरेखण (graphing) में
कैलकुलस में समाकल (integral) निकालने मेंलाप्लास रूपान्तर (finding [[Laplace transforms) प्राप्त करने में
5
x
2
+
7
x
−
6
=
5
(
x
2
+
7
5
x
)
−
6
=
5
(
x
2
+
7
5
x
+
(
7
10
)
2
)
−
6
−
5
(
7
10
)
2
=
5
(
x
+
7
10
)
2
−
6
−
7
2
2
⋅
10
−
169
20
.
{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right)-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\ -{169 \over 20}.\end{aligned}}}
सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला) [ संपादित करें ] यदि a धनात्मक हो तो,
a
x
2
+
b
x
=
(
c
x
+
d
)
2
+
e
,
{\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e,\,\!}
जहाँ,
c
=
a
,
d
=
b
2
a
,
e
=
−
d
2
=
−
(
b
2
a
)
2
=
−
b
2
4
a
.
{\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}}
अर्थात् -
a
x
2
+
b
x
=
(
a
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
.
{\displaystyle ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}\,x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}.\,\!}
पूर्ण वर्ग बनाकर वर्ग समीकरण का हल [ संपादित करें ]
x
2
+
6
x
+
5
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,\,\!}
सबसे पहला चरण है - पूर्ण वर्ग बनाना,
(
x
+
3
)
2
−
4
=
0.
{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.\,\!}
इसके बाद दो-घात वाले पद का मान प्राप्त करते हैं,
(
x
+
3
)
2
=
4.
{\displaystyle (x+3)^{2}=4.\,\!}
इससे स्पष्ट है कि,
x
+
3
=
−
2
or
x
+
3
=
2
,
{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}
अतः
x
=
−
5
or
x
=
−
1.
{\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}
यह विधि किसी भी वर्ग समीकरण के लिये लगायी जा सकती है। जब x 2 का गुणांक 1 के बजाय कुछ और हो तो सबसे पहले पूरे समीकरण को इस गुणांक से विभाजित कर देना चाहिये और उसके बाद उपरोक्त रीति से आगे बढ़ना चाहिये।
पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन [ संपादित करें ] निम्नलिखित समाकलन की गणना करने के लिये,
∫
1
4
x
2
−
8
x
+
13
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x}
पूर्ण वर्ग बनाने पर,
4
x
2
−
8
x
+
13
=
…
=
4
(
x
−
1
)
2
+
9
.
{\displaystyle 4x^{2}-8x+13=\ldots =4(x-1)^{2}+9\,.}
अतः
∫
1
4
x
2
−
8
x
+
13
d
x
=
1
4
∫
1
(
x
−
1
)
2
+
(
3
2
)
2
d
x
=
1
4
⋅
2
3
arctan
2
(
x
−
1
)
3
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+({\frac {3}{2}})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{3}}\arctan {\frac {2(x-1)}{3}}+C\end{aligned}}}
क्योंकि,
∫
1
x
2
+
a
2
d
x
=
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e905c1705aff97d23a6f09c27d5bb99a1693007e)
