पूर्ण वर्ग बनाना

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आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद ax^2 + bx + c\,\! को  a(x - h)^2 + k\, के रूप में बदलने को पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square) कहते हैं। यहाँ h तथा k का मान x से स्वतंत्र है। नीचे इसके कुछ उदाहरण दिये हैं-

\begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}

उपयोग[संपादित करें]

गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-

उदाहरण[संपादित करें]

\begin{align}5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\
&{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^2\right) - 6 - 5\left({7 \over 10}\right)^2 \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10} \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {6\cdot 20 + 7^2 \over 20} \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20}.
\end{align}

सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला)[संपादित करें]

यदि a धनात्मक हो तो,

a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e , \,\!

जहाँ,


\begin{align}
 c &{}= \sqrt{a} ,\\
 d &{}= \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\
 e &{}= -d^2\\
 &{}= -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2\\
 &{}= -\frac{b^2}{4a} .
\end{align}

अर्थात् -

a x^2 + b x = \left(\sqrt{a}\,x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - 
 \frac{b^2}{4a} . \,\!

पूर्ण वर्ग बनाकर वर्ग समीकरण का हल[संपादित करें]

x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!

सबसे पहला चरण है - पूर्ण वर्ग बनाना,

(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!

इसके बाद दो-घात वाले पद का मान प्राप्त करते हैं,

(x+3)^2 = 4.\,\!

इससे स्पष्ट है कि,

x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,

अतः

x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.

यह विधि किसी भी वर्ग समीकरण के लिये लगायी जा सकती है। जब x2 का गुणांक 1 के बजाय कुछ और हो तो सबसे पहले पूरे समीकरण को इस गुणांक से विभाजित कर देना चाहिये और उसके बाद उपरोक्त रीति से आगे बढ़ना चाहिये।

पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन[संपादित करें]

निम्नलिखित समाकलन की गणना करने के लिये,

\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x

पूर्ण वर्ग बनाने पर,

4x^2-8x+13 = \ldots = 4(x-1)^2+9\,.

अतः

\begin{align}\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x & = \frac{1}{4}\int\frac{1}{(x-1)^2+(\frac{3}{2})^2}\,\mathrm{d}x \\
& = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\arctan\frac{2(x-1)}{3}+ C \end{align}

क्योंकि,

\int\frac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

इन्हें भी देखें[संपादित करें]