लाप्लास रूपान्तर

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लाप्लास रूपान्तर (Laplace transform) एक प्रकार का समाकल रूपान्तर (integral transform) है। यह भौतिकी एवं इंजीनियरी के अनेकानेक क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए परिपथ विश्लेषण में। इसको  \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\} से निरूपित करते हैं। यह एक रैखिक संक्रिया है जो वास्तविक अर्गुमेन्ट t (t ≥ 0) वाले फलन f(t) को समिश्र अर्गुमेन्ट वाले फलन F(s) में बदल देता है।

लाप्लास रूपान्तर, प्रसिद्ध गणितज्ञ खगोलविद पिएर सिमों लाप्लास के नाम पर रखा गया है। लाप्लास रूपान्तर का उपयोग अवकल समीकरण तथा समाकल समीकरण (इंटीग्रल इक्वेशन) हल करने में किया जाता है।

परिभाषा[संपादित करें]

F(s)
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

अनुबन्ध यह है कि उपरोक्त समाकलन का अस्तित्व हो। उपरोक्त प्रकार से परिभाषित लाप्लास रूपान्तर 'एकपक्षीय लाप्लास रूपान्तर' कहलाता है। लाप्लास रूपान्तर का द्विपक्षीय रूपान्तर निम्नलिखित प्रकार से पारिभाषित किया जाता है-

F_B(s)
  = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}
  =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

गुण[संपादित करें]

  • रैखिकता

प्रमुख फलनों के लाप्लास रूपान्तर[संपादित करें]

फलन समय डोमेन
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
लाप्लास s-डोमेन
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
अभिसरण क्षेत्र (Region of convergence) सन्दर्भ
यूनिट इम्पल्स  \delta(t) \  1   \mathrm{all} \  s \, inspection
delayed impulse  \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \ time shift of
unit impulse
unit step  u(t) \  { 1 \over s } Re(s) > 0 integrate unit impulse
delayed unit step  u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s } Re(s) > 0 time shift of
unit step
ramp  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} Re(s) > 0 integrate unit
impulse twice
nth power
(for integer n)
 t^n \cdot u(t)  { n! \over s^{n+1} } Re(s) > 0
(n > −1)
Integrate unit
step n times
qth power
(for complex q)
 t^q \cdot u(t)  { \Gamma(q+1) \over s^{q+1} } Re(s) > 0
Re(q) > −1
[1][2]
nth root  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  { \Gamma(\frac{1}{n}+1) \over s^{\frac{1}{n}+1} } Re(s) > 0 Set q = 1/n above.
nth power with frequency shift t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}} Re(s) > −α Integrate unit step,
apply frequency shift
delayed nth power
with frequency shift
(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} Re(s) > −α Integrate unit step,
apply frequency shift,
apply time shift
exponential decay  e^{-\alpha t} \cdot u(t) \  { 1 \over s+\alpha } Re(s) > −α Frequency shift of
unit step
two-sided exponential decay  e^{-\alpha|t|}  \  { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } −α < Re(s) < α Frequency shift of
unit step
exponential approach (1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} Re(s) > 0 Unit step minus
exponential decay
sine  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  } Re(s) > 0 Bracewell 1978, पृष्ठ 227
cosine  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  } Re(s) > 0 Bracewell 1978, पृष्ठ 227
hyperbolic sine  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } Re(s) > |α| Williams 1973, पृष्ठ 88
hyperbolic cosine  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  } Re(s) > |α| Williams 1973, पृष्ठ 88
exponentially decaying
sine wave
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha)^2 + \omega^2  } Re(s) > −α Bracewell 1978, पृष्ठ 227
exponentially decaying
cosine wave
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha)^2 + \omega^2  } Re(s) > −α Bracewell 1978, पृष्ठ 227
natural logarithm  \ln (t) \cdot u(t)  - { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right] Re(s) > 0 Williams 1973, पृष्ठ 88
Bessel function
of the first kind,
of order n
 J_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}} Re(s) > 0
(n > −1)
Williams 1973, पृष्ठ 89
Error function  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)     {e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s} Re(s) > 0 Williams 1973, पृष्ठ 89
Explanatory notes:

सन्दर्भ[संपादित करें]

  1. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  2. http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html - Wolfram Mathword provides case for complex q

इन्हें भी देखें[संपादित करें]

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]