सदस्य वार्ता:Adith George 1840427/प्रयोगपृष्ठ

ज्यामितीय टोपोलॉजी

भंवर - ब्रह्मांड टोपोलॉजी ज्यामिति के टोरस आकार

इस सत्र में हम गणित की एक शाखा देखने जा रहे हैं, वह है ज्यामिति और टोपोलॉजी।

इतिहास

बीजीय टोपोलॉजी से अलग एक क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय टोपोलॉजी को 1935 में रिडेमिस्टर टॉर्सियन द्वारा लेंस रिक्त स्थान के वर्गीकरण में उत्पन्न किया जा सकता है, जिसे समरूप स्थान की आवश्यकता होती है जो होमोटॉपी के समतुल्य होते हैं लेकिन होमियोमोरिक नहीं। यह सरल समरूप सिद्धांत का मूल था। इनका वर्णन करने के लिए ज्यामितीय टोपोलॉजी शब्द का उपयोग हाल ही में हुआ है।

निम्न-आयामी और उच्च-आयामी टोपोलॉजी के बीच अंतर

मैनिफोल्ड्स उच्च और निम्न आयाम में व्यवहार में मौलिक रूप से भिन्न होते हैं। उच्च-आयामी टोपोलॉजी आयाम 5 और इसके बाद के संस्करण की अभिव्यक्तियों को संदर्भित करता है, या रिश्तेदार शब्दों में, कोड 3 और इसके बाद के संस्करण में एम्बेड करता है। निम्न-आयामी टोपोलॉजी 4 तक के आयामों के प्रश्नों से संबंधित है, या 2 तक के कोडिमेंशन में एम्बेडिंग है। आयाम 4 विशेष है, जिसमें कुछ मामलों में (स्थैतिक रूप से), आयाम 4 उच्च-आयामी है, जबकि अन्य मामलों में (अलग-अलग), आयाम 4 निम्न-आयामी है; यह ओवरलैप आयाम 4 से असाधारण घटनाओं को जन्म देता है, जैसे कि आर 4 पर विदेशी अलग-अलग संरचनाएं। मोटे तौर पर, व्हिटनी चाल ने एक को "नॉट" नॉटेड गोले की अनुमति दी है - अधिक सटीक रूप से, विसर्जन के आत्म-चौराहों को हटा दें; यह एक डिस्क के होमोटॉपी के माध्यम से करता है - डिस्क के 2 आयाम हैं, और होमोटॉपी 1 और जोड़ता है - और इस प्रकार कोडिमेंशन 2 से अधिक है, यह खुद को इंटरसेक्ट किए बिना किया जा सकता है; इसलिए 2 से अधिक कोडिमेशन में एम्बेडिंग को सर्जरी द्वारा समझा जा सकता है। सर्जरी सिद्धांत में, मुख्य चरण मध्यम आयाम में है,और इस प्रकार जब मध्य आयाम में 2 से अधिक कोडाईशन है(शिथिलता, 2os पर्याप्त है, इसलिए कुल आयाम 5 पर्याप्त है), व्हिटनी चाल काम करती है। इसका प्रमुख परिणाम स्मेल का एच-कोबर्डिज्म प्रमेय है, जो 5 और उससे अधिक के आयामों में काम करता है,और सर्जरी सिद्धांत का आधार बनता है।

ज्यामितीय टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण उपकरण

मौलिक समूह

सभी आयामों में, कई गुना का मूल समूह एक बहुत ही महत्वपूर्ण अक्रियाशील है, और संरचना का अधिकांश भाग निर्धारित करता है; आयाम 1, 2 और 3 में, संभव मौलिक समूह प्रतिबंधित हैं, जबकि आयाम 4 में और प्रत्येक सूक्ष्मता से प्रस्तुत समूह के ऊपर कई गुना का मूल समूह है (ध्यान दें कि यह 4- और 5-आयामी कई गुना के लिए यह दिखाने के लिए पर्याप्त है, और फिर उच्चतर प्राप्त करने के लिए क्षेत्रों के साथ उत्पाद लेना)।

अभिविन्यास

यदि यह अभिविन्यास की एक सुसंगत पसंद है, और एक जुड़ा हुआ ओरिएंटेड मैनिफोल्ड दो अलग संभव अभिविन्यास है, तो कई गुना उन्मुख है। इस सेटिंग में, सामान्यता के वांछित अनुप्रयोग और स्तर के आधार पर, अभिविन्यास के विभिन्न समकक्ष योग दिए जा सकते हैं। सामान्य टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स के लिए लागू योग अक्सर होमोलॉजी सिद्धांत के तरीकों को नियुक्त करते हैं, जबकि विभेदीकृत मैनिफ़ेस्ट्स के लिए अधिक संरचना मौजूद होती है, जो विभेदक रूपों के संदर्भ में एक सूत्रीकरण की अनुमति देती है। एक अंतरिक्ष की अभिविन्यास की धारणा का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण कुछ अन्य स्थान (एक फाइबर बंडल) द्वारा पैरामीटर किए गए रिक्त स्थान के एक परिवार की अभिविन्यास है, जिसके लिए प्रत्येक रिक्त स्थान में एक अभिविन्यास का चयन किया जाना चाहिए जो कि परिवर्तनों के संबंध में लगातार बदलता रहता है पैरामीटर मान।

गाँठ का सिद्धांत

नॉट सिद्धांत गणितीय समुद्री मील का अध्ययन है। जबकि समुद्री मील और रस्सी में दैनिक जीवन में दिखाई देने वाली समुद्री मील से प्रेरित, एक गणितज्ञ की गाँठ में अंतर होता है कि छोर एक साथ जुड़ जाते हैं ताकि यह पूर्ववत न हो सके। गणितीय भाषा में, एक गाँठ 3-आयामी यूक्लिडियन स्पेस, R3 में एक सर्कल का एक एम्बेडिंग है (क्योंकि हम टोपोलॉजी का उपयोग कर रहे हैं, एक सर्कल शास्त्रीय ज्यामितीय अवधारणा से बाध्य नहीं है, लेकिन इसके सभी होमियोमॉर्फिम्स के लिए)। दो गणितीय गांठें समतुल्य हैं यदि एक को R3 की विकृति के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है); ये परिवर्तन एक स्ट्रिंग के जोड़तोड़ के अनुरूप होते हैं जिसमें स्ट्रिंग को काटना या स्ट्रिंग को स्वयं से गुजरना शामिल नहीं होता है।

उच्च आयामी ज्यामितीय टोपोलॉजी

उच्च-आयामी टोपोलॉजी में, विशेषता वर्ग एक बुनियादी अपरिवर्तनीय हैं, और सर्जरी सिद्धांत एक प्रमुख सिद्धांत है। एक विशिष्ट वर्ग प्रत्येक प्रमुख बंडल को एक टोपोलॉजिकल स्पेस X पर X के एक सहसंयोजी वर्ग से संबद्ध करने का एक तरीका है। वर्ग यह मापता है कि बंडल किस हद तक "मुड़" है - विशेष रूप से, यह खंडों के पास है या नहीं। दूसरे शब्दों में, विशेषता वर्ग वैश्विक आक्रमणकारी होते हैं जो एक वैश्विक उत्पाद संरचना से स्थानीय उत्पाद संरचना के विचलन को मापते हैं। वे बीजगणितीय टोपोलॉजी, अंतर ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में एकीकृत ज्यामितीय अवधारणाओं में से एक हैं। सर्जरी सिद्धांत एक तकनीक का एक संग्रह है जिसका उपयोग मिल्नोर (1961) द्वारा शुरू किए गए 'नियंत्रित' तरीके से एक से कई गुना उत्पादन करने के लिए किया जाता है। सर्जरी से तात्पर्य कई हिस्सों को काटना और कट या बाउंड्री के साथ मेल खाते हुए इसे कई गुना के हिस्से से बदलना है। यह निकटता से संबंधित है, लेकिन इसके साथ समान नहीं है, हैंडलबॉडी डिकम्पोजिशन। यह 3 से अधिक आयाम के कई गुना के अध्ययन और वर्गीकरण में एक प्रमुख उपकरण है। अधिक तकनीकी रूप से, विचार एक अच्छी तरह से समझे जाने वाले एम के साथ शुरू करना है और उस पर सर्जरी करना है, जिसमें कई गुना संपत्ति है, कुछ वांछित संपत्ति है, इस तरह से होमोलॉजी, होमोटोपी समूहों या अन्य दिलचस्प आक्रमणकारियों पर प्रभाव। कई गुना जाना जाता है। केरवायर और मिल्नोर (1963) द्वारा विदेशी क्षेत्रों का वर्गीकरण सर्जरी सिद्धांत के उद्भव के लिए उच्च-आयामी टोपोलॉजी में एक प्रमुख उपकरण के रूप में हुआ।टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स ffi पंथ की जांच करने के लिए हैं, उनके डे ig नेशन इगेंनल और सीधे डी चीज़ें ने के लिए अनुमति देता है और केवल चीजों को साबित करता है। यहां तक कि आयाम की धारणा गैर-तुच्छ है: यह साबित करने के लिए कि आरके का एक खुला सेट आरएच के लिए डी के एक खुले सेट के लिए होमोमोर्फिक नहीं है आयाम k और h हमें होमोलॉजी के साथ गैर-तुच्छ निर्माण का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह भी संस्थानिक पंथ के लिए टोपोलॉजिकल सबस्पेक्ट्स का इलाज करने के लिए है: उदाहरण के लिए, अलेक्जेंडर सींग वाला गोला, आर 3 स्थैतिक रूप से होमियोमॉर्फिक का एक उप-क्षेत्र है जो 2-गोले में है। यह एक जटिल वस्तु है जिसमें कई बिंदु होते हैं जो "सुचारू" नहीं होते हैं और जिन्हें किसी भी उचित तरीके से "सुचारू" नहीं किया जा सकता है।

चिकनी और पॉलीहेड्रेल सतहों में नियमित रूप से होमोटोपी में बाधाएं।

निष्कर्ष

जियोमेट्री में स्थानीय संरचना (या इन्फिनिटिसिमल) है, जबकि टोपोलॉजी में केवल वैश्विक संरचना है। वैकल्पिक रूप से, ज्यामिति में निरंतर मोडुली होती है, जबकि टोपोलॉजी में असतत मापांक होते हैं। मीट्रिक रिक्त स्थान का अध्ययन ज्यामिति है, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अध्ययन टोपोलॉजी है।

संदर्भ

https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topo.html

https://math.meta.stackexchange.com/questions/2840/what-is-geometric-topology