द्विपद रचनांतर

यह एक द्विपद गुणांक है।

क्रमचय-संचय में, द्विपद रचनांतर (अथवा द्विपद रुपांतरण) अनुक्रम रुपांतरण (अनुक्रम का रचनांतर) है जो अग्र अन्तर की गणना करता है। यह आयलर रुपांतरण से काफी समानता रखता है, जो साधारण जनक फलन से सम्बंधित अनुक्रम का द्विपद रुपांतरण हैं।

परिभाषा

किसी अनुक्रम {a_n} का द्विपद रुपांतरण, T, निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित अनुक्रम {s_n} है

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.$

औपचारिक रूप से, रुपांतरण के लिए (Ta)_n = s_n लिखा जा सकता है जहाँ T आव्युह अवयव T_nk के साथ अनन्त-विमीय संकारक है:

$s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}.$

रुपांतरण एक अंतर्वलन है, जहाँ,

$TT=1\,$

तथा सूचकांक निरूपण में,

$\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}$

है, जहाँ δ क्रोनेकर डेल्टा फलन है। मूल श्रेणी को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.$

किसी अनुक्रम का द्विपद रचनांतर अनुक्रम का nवाँ अग्र अन्तर है जिसमें विषम अन्तर ऋणात्मक चिह्न रखते हैं, नामतः:

$s_{0}=a_{0}$

$s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}$

$s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}$

$\vdots \,$

$s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}$

जहाँ Δ अग्र अन्तर संकारक है।

कुछ लेखक द्विपद रुपान्तरण को अतिरिक्त चिह्न के साथ परिभाषित करते हैं, अतः वह अपना-व्युत्क्रम नहीं होता:

$t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}$

जिसका व्युत्क्रम निम्नलिखित है

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}.$

उदाहरण

द्विपद रुपांतरण निम्न सारणी में देखा जा सकता है। निम्न सारणी को देखें:

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

शीर्ष पंक्ति 0, 1, 10, 63, 324, 1485,... ((2n² + n)3^n − 2 द्वारा परिभाषित अनुक्रम) का द्विपद रुपांतरण विकर्ण 0, 1, 8, 36, 128, 400,... (n²2^n − 1 द्वारा परिभाषित अनुक्रम) द्वारा दिया जाता है।

सन्दर्भ

• John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

बाहरी कड़ियाँ

• द्विपद रचनांतर