काई-वर्ग वितरण

काई-वर्ग
	प्रायिकता घनत्व फलन;
	संचयी बंटन फलन;
संकेतन	या
प्राचल	("स्वतंत्रता की कोटि" के रूप में जाना जाता है)
आधार
पीडीएफ
संचयी बंटन फलन
माध्य
माध्यिका
बहुलक
भिन्नता
वैषम्य
अधि वक्रता-मात्रा
एन्ट्रॉपी
आघूर्णजनक फलन
अभिलक्षणिक-फलन

सांख्यिकी के प्रायिकता सिद्धान्त में स्वतंत्रता की कोटि $k$ का काई-वर्ग वितरण (जिसे काई-वर्ग अथवा काई-स्कावयर अथवा χ²-वितरण भी कहा जाता है) k स्वतंत्र मानक यादृच्छिक चरों के वर्ग के संकलन का वितरण होता है। काई-वर्ग वितरण फलन, गामा वितरण का एक विशेष रूप है जो सांख्यिकीय अनुमिति के प्रायिकता वितरण में सबसे अधिक काम में आने वाला वितरण फलन है। उदाहरण के लिए परिकल्पना परीक्षण अथवा विश्वास्यता अंतराल का निर्माण।^[2]^[3]^[4]^[5]

सन्दर्भ

↑ एम॰ए॰ सैंडर्स. "Characteristic function of the central chi-squared distribution" [मध्य काई-वर्ग वितरण का अभिलाक्षणिक फलन] (PDF) (अंग्रेज़ी में). मूल (PDF) से 15 जुलाई 2011 को पुरालेखित. अभिगमन तिथि १४ अक्टूबर २०१७.
↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. पृ॰ 940. मूल से 9 सितंबर 2009 को पुरालेखित. अभिगमन तिथि 14 अक्तूबर 2017.सीएस1 रखरखाव: एक से अधिक नाम: authors list (link)
↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution Archived 2017-10-23 at the वेबैक मशीन
↑ Jonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "Chi-Squared Distributions including Chi and Rayleigh". Continuous Univariate Distributions. 1 (Second संस्करण). John Willey and Sons. पपृ॰ 415–493. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-471-58495-9.
↑ Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third संस्करण). McGraw-Hill. पपृ॰ 241–246. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-07-042864-6.

[1] एम॰ए॰ सैंडर्स. "Characteristic function of the central chi-squared distribution" [मध्य काई-वर्ग वितरण का अभिलाक्षणिक फलन] (PDF) (अंग्रेज़ी में). मूल (PDF) से 15 जुलाई 2011 को पुरालेखित. अभिगमन तिथि १४ अक्टूबर २०१७.

[abramowitz-2] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. पृ॰ 940. मूल से 9 सितंबर 2009 को पुरालेखित. अभिगमन तिथि 14 अक्तूबर 2017.सीएस1 रखरखाव: एक से अधिक नाम: authors list (link)

[3] NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution Archived 2017-10-23 at the वेबैक मशीन

[4] Jonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "Chi-Squared Distributions including Chi and Rayleigh". Continuous Univariate Distributions. 1 (Second संस्करण). John Willey and Sons. पपृ॰ 415–493. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-471-58495-9.

[5] Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third संस्करण). McGraw-Hill. पपृ॰ 241–246. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-07-042864-6.

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काई-वर्ग
प्रायिकता घनत्व फलन
संचयी बंटन फलन
संकेतन	$\chi ^{2}(k)\!$ या $\chi _{k}^{2}\!$
प्राचल	$k\in \mathbb {N} _{>0}~~$ ("स्वतंत्रता की कोटि" के रूप में जाना जाता है)
आधार	$x\in [0,+\infty )$
पीडीएफ	${\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,$
संचयी बंटन फलन	${\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)$
माध्य	$k$
माध्यिका	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}$
बहुलक	$\max(k-2,0)$
भिन्नता	$2k$
वैषम्य	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
अधि वक्रता-मात्रा	${\frac {12}{k}}$
एन्ट्रॉपी	${\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\tfrac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\tfrac {k}{2}})\psi ({\tfrac {k}{2}})\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}$
आघूर्णजनक फलन	$(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}$
अभिलक्षणिक-फलन	$(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$ ^[1]