वर्गमूल निकालने की विधियाँ

वर्गमूल निकालने की बहुत सी विधियाँ हैं। वर्गमूल निकालने की एक प्रचलित विधि निम्नलिखित सर्वसमिका पर आधारित है-

(क + ख)² = क² + 2×(क×ख) + ख²

इतिहास

भारतीय गणितज्ञों की विधियाँ

• आर्यभटीय में वर्गमूल निकालने की विधि दी गई है जो पूर्णवर्ग संख्याओं के लिए है।

• पाटीगणित (श्रीधराचार्य) में एक दूसरी विधि दी गई है।

• बख्शाली पाण्डुलिपि में वर्गमूल निकालने की एक विधि दी गई है।

• ३०० ईसापूर्व रचित जैन ग्रन्थ जम्ब्द्वीपप्रज्ञप्ति में वर्गमूल निकालने की विधि दी गई है। यही विधि जीवहिगम-सूत्र (२००ई), अनुयोगद्वारसूत्र (० ई) तथा त्रिलोकसार ( ० ई) में भी मिलता है।

सन्निकट (Rough) वर्गमूल निकालना

धनात्मक संख्याओं S के वर्गमूल निकालने की अधिकांश विधियों का आरम्भ वर्गमूल के एक सन्निकट मान से होता है जिसे क्रमशः शुद्ध बनाते जाते हैं। यदि यह आरम्भिक मान, वर्गमूल के शुद्ध मान से बहुत दूर होगा तो गणना करने में अधिक चरण (और अधिक समय) लगेंगे। इसलिए वर्गमूल का सन्निकट मान निकालना बहुत उपयोगी है।

माना पूर्णांक S ≥ 1, तथा इसमें अंकों की संख्या D है। तो

यदि D विषम है, D = 2n + 1, तो $\sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n.$

यदि D सम है, D = 2n + 2, तो $\sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n.$

उदाहरण 

माना 234 का वर्गमूल निकालना है। यहाँ D=3 तथा n = 1 . अतः 234 के वर्गमूल का मान = $\sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^2.$ = 20

बख्शाली विधि

यह विधि प्राचीन भारतीय गणित ग्रन्थ 'बख्शाली पाण्डुलिपि' में वर्णित है।

$\sqrt{S}$ का मान निकालने के लिए, माना N² S के सबसे निकट पूर्ण वर्ग है। इसके बाद निम्नलिखित चरणों द्वारा वर्गमूल निकालें-

$d = S - N^2 \,\!$

$P = \frac{d}{2N}$

$A = N + P\,\!$

$\sqrt{S} \approx A - \frac{P^2}{2A}$

उपरोक्त प्रक्रिया को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है-

$\sqrt{S} \approx N + \frac{d}{2N} - \frac{d^2}{8N^3 + 4Nd} = \frac{8N^4 + 8N^2 d + d^2}{8N^3 + 4Nd} = \frac{N^4 + 6N^2S + S^2}{4N^3 + 4NS}$

उदाहरण

$\sqrt{9.2345}$ का मान निकालो।

$N=3\,\!$

$d = 9.2345 - 3^2 = 0.2345\,\!$

$P = \frac{0.2345}{2 \times 3} = 0.0391$

$A = 3 + 0.0391 = 3.0391\,\!$

$\sqrt{9.2345} \approx 3.0391 - \frac{0.0391^2}{2 \times 3.0391} \approx 3.0388$

बाहरी कड़ियाँ

• Ancient Indian Square Roots : An Exercise in Forensic Paleo-Mathematics (David H. Bailey� Jonathan M. Borweiny ; 2011)
• C++ Source for several fast square root functions with analysis
• A list of scholarly articles dealing with algorithms for roots extraction
• Square roots by subtraction
• Integer Square Root Algorithm by Andrija Radović