कोशी की मूल परीक्षा

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गणित में कोशी की मूल परीक्षा (अंग्रेज़ी: Cauchy's root test) किसी अनन्त श्रेणी के अभिसरण की निकष (कसौटी / क्राइटेरिया) है। यह परीक्षा सबसे पहले कोशी (Augustin-Louis Cauchy) द्वारा प्रतिपादित की गयी थी।

यह निम्नलिखित राशि (सुपर लिमिट) के मान पर निर्भर करता है -

\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

जहाँ a_n श्रेणी के पद हैं। मूल परीक्षा निकष के अनुसार, कोई श्रेणी पूर्णतः अभिसारी होगी यदि उपरोक्त राशि का मान एक से कम' होगा। किन्तु यदि उक्त राशि कामान 'एक से अधिक' हुआ तो श्रेणी अपसारी होगी। यह परीक्षा घात श्रेणियों (power series) के लिये विशेष रूप से उपयोगी है।

परीक्षा[संपादित करें]

किसी श्रेणी,

\sum_{n=1}^\infty a_n.

के अभिसरण की जाँच के लिये मूल परीक्षा निम्नलिखित संख्या की गणना करता है-

C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

जहाँ "lim sup" का मतलब 'लिमिट सुपीरियर है। यदि

\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

का मान अभिसरित होता है तथा C के बराबर है तो इस परीक्षा के अनुसार,

  • यदि C < 1 तो श्रेणी पूर्णतः अभिसरित होगी,
  • यदि C > 1 तो श्रेणी अपसारी है,
  • यदि C = 1 तथा सीमा पूर्णतः उपर से अग्रसरित होती है (limit approaches strictly from above) तो श्रेणी अपसारी होगी,
  • अन्य स्थितियों में यह परीक्षण अनिर्णायक (inconclusive) है। (अर्थात् श्रेणी अपसारी, पूर्णतः अभिसारी, या सशर्त अभिसारी हो सकती है।)

घात श्रेणियों के उदाहरण[संपादित करें]

इन्हें भी देखें[संपादित करें]