अनन्त समान्तर श्रेणी

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गणित में अनन्त समान्तर श्रेणी एक अनन्त श्रेणी है जिसके पद समान्तार श्रेढ़ी में होते हैं। उदाहरण के लिए 1 + 1 + 1 + 1 + · · · और 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, जहाँ सार्व अन्तर क्रमशः शून्य (0) और एक (1) हैं। एक अनन्त श्रेणी के लिए व्यापक पद निम्न प्रकार लिखा जा सकता है

\sum_{n=0}^\infty(an+b).

यदि a = b = 0, तब श्रेणी का योग भी 0 ही होगा। यदि या तो a या फिर b शून्यतर (जो शून्य नहीं है) है तो श्रेणी अपसारी होगी और सामान्य रूप में अर्थहीन योग होगा।

ज़ेटा नियमितीकरण[संपादित करें]

ठीक रूप से एक समान्तर श्रेणी का ज़ेटा नियमितीकरण योग सम्बद्ध हुर्वित्ज़ ज़ेटा फलन का मान है,

\sum_{n=0}^\infty(n+\beta) = \zeta_H (-1; \beta).

यद्यपि ज़ेटा नियमितीकरण योग 1 + 1 + 1 + 1 + · · · से ζR(0) = −12 और 1 + 2 + 3 + 4 + · · · से ζR(−1) = −112 प्राप्त होता है, जहाँ ζ रीमान ज़ेटा फलन है, व्यापक रूप में उपरोक्त व्यंजक -\frac{1}{12} - \frac{\beta}{2} के बराबर नहीं है।

सन्दर्भ[संपादित करें]

  • ब्रेविक, आय॰ और एच॰ बी॰ नीलसन (फरवरी 1990). "Casimir energy for a piecewise uniform string". फिजिकल रिव्यू डी 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 
  • एलिज़ल्द (Elizalde), ई॰ (मई 1994). "ज़ेटा फलन नियमितीकरण भी इसी तरह से अद्वितीय रूप से परिभषित है (Zeta-function regularization is uniquely defined and well)". जरनल ऑफ फिजिक्स ए: Mathematical and General 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  (arXiv preprint)
  • ली, Xinzhou; जीं शी; और जिंगु झांग (जुलाई 1991). "Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string". Physical Review D 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

ये भी देखें[संपादित करें]