सदस्य:Abhishek a1840345/sandbox
सार बीजगणित[संपादित करें]
बीजगणतीय संरचनाएं[संपादित करें]
बीजगणित में, जो गणित का एक व्यापक विभाजन है, अमूर्त बीजगणित (जिसे आधुनिक बीजगणित भी कहा जाता है) बीजगणितीय रूपों का अध्ययन है। बीजगणितीय रूपों में "समूह", "रिंग", "फ़ील्ड", मॉड्यूल, "वेक्टर", "अक्षांश" और "बीजगणित" शामिल हैं। बीजगणित के अन्य भागों से अध्ययन के इस क्षेत्र को अलग करने के लिए, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित शब्द को चुना गया था।बीजगणितीय रूप, उनके संबद्ध समरूपता के साथ, गणितीय श्रेणियां बनाते हैं। श्रेणी सिद्धांत एक औपचारिकता है जो एक ही तरह के गुणों और विभिन्न संरचनाओं के लिए निर्माण को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत तरीके की अनुमति देता है।सार्वभौमिक बीजगणित एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजीय संरचनाओं के प्रकारों का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एकल वस्तु है, जिसे समूहों की विविधता कहा जाता है।
सार बीजगणित का उद्भव[संपादित करें]
उन्नीसवीं और बीसवीं सदी की शुरुआत में गणित की पद्धति में जबरदस्त बदलाव आया। सार बीजगणित आधुनिक बीजगणित नाम के तहत बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में उभरा। इसका अध्ययन गणित में अधिक बौद्धिक कठोरता के लिए आग्रह का हिस्सा था। प्रारंभ में, शास्त्रीय बीजगणित में मान्यताओं, जिस पर संपूर्ण गणित (और प्राकृतिक विज्ञान के प्रमुख हिस्से) निर्भर करते हैं, ने स्वयं स्पष्ट तरीकों का रूप ले लिया। ठोस वस्तुओं के गुणों की स्थापना से संतुष्ट नहीं होने के कारण, गणितज्ञों ने सामान्य सिद्धांत पर अपना ध्यान केंद्रित करना शुरू कर दिया। उन्नीसवीं शताब्दी में कुछ बीजीय संरचनाओं की औपचारिक परिभाषाएँ उभरने लगीं। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन के विभिन्न समूहों के परिणामों को सामान्य प्रमेयों के उदाहरणों के रूप में देखा गया है जो एक सार समूह की सामान्य धारणा की चिंता करते हैं। विभिन्न गणितीय वस्तुओं की संरचना और वर्गीकरण का सवाल सबसे आगे आया।
आधुनिक बीजगणित के आवेदन[संपादित करें]
विभिन्न मात्राओं को अलग करके, गणितज्ञों ने विभिन्न बीजीय संरचनाओं को परिभाषित किया है जो गणित के कई क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, लगभग सभी अध्ययन किए गए सिस्टम सेट हैं जो अच्छी तरह से परिभाषित वस्तुओं के संग्रह हैं, जिन पर सेट सिद्धांत के सिद्धांत लागू होते हैं। बीजगणितीय वस्तुओं का एक "पदानुक्रम" (सामान्यता के संदर्भ में) संबंधित सिद्धांतों की एक पदानुक्रम बनाता है: उदाहरण के लिए, "रिंग्स" का अध्ययन करते समय "समूह सिद्धांत" के प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है (बीजगणितीय ऑब्जेक्ट जो कुछ स्वयंसिद्ध हैं बाइनरी ऑपरेशन के बाद से) । एक "रिंग" उसके एक ऑपरेशन पर एक "समूह" है।सामान्य तौर पर सामान्यता की मात्रा और सिद्धांत की समृद्धि के बीच संतुलन होता है: अधिक सामान्य संरचनाओं में आमतौर पर कम प्रांतीय सिद्धांत और कम अनुप्रयोग होते हैं।
अन्य अनुप्रयोगों[संपादित करें]
इसकी व्यापकता के कारण, गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में अमूर्त बीजगणित का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, "बीजीय टोपोलॉजी", टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए बीजीय वस्तुओं का उपयोग करता है। 2003 में साबित हुए पोंकारे अनुमान में कहा गया है कि मैनिफोल्ड्स का मूल समूह, जो इस संबंध में जानकारी देता है, यह निर्धारित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या मैनिफोल्ड एक गोला है।बीजगणितीय संख्या सिद्धांत विभिन्न संख्या के छल्ले का अध्ययन करता है जो पूर्णांक के सेट को सामान्य करता है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के औजारों का उपयोग करते हुए, एंड्रयू विल्स ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया।