अभिलक्षणिक बहुपद

रैखिक बीजगणित में प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स के सहवर्ती एक लाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) परिभाषित किया जाता है। किसी वर्ग मैट्रिक्स का लाक्षणिक बहुपद बहुत उपयोगी परिकल्पना है - इससे उस वर्ग मैट्रिक्स में निहित (छिपी हुई) बहुत से महत्वपूर्ण गुण बाहर आ जाते हैं। लाक्षणिक बहुपद के द्वारा आइगेनमान (eigenvalues), मैट्रिस का सारणिक (determinant) तथा इसके ट्रेस (trace) का ज्ञान हो जाता है।

परिचय

वर्ग मैट्रिक्स A दिया हुआ है और हम वह बहुपद ज्ञात करना चाहते हैं जिसके मूल A के आइगनमानों के बराबर हों।

कोई अदिश λ, A का एक आइगनमान तभी और केवल तभी हो सकता है है यदि आइगनसदिश (eigenvector) $\mathbf {v} \neq 0$ निम्नलिखित सम्बन्ध को संतुष्ट करता है -

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\,$

या,

$(\lambda I-A)\mathbf {v} =0\,$

(यहाँ I आइडेन्टिटी मैट्रिक्स है। चूंकि v अशून्य है, इसलिये मैट्रिक्स λI − A सिंगुलर मैट्रिक्स होगी। इसका अर्थ यह हुआ कि इसका सारणिक (determinant) शून्य होगा और इसका व्युत्क्रम नहीं निकाला जा सकता) इस प्रकार फलन det(λ I − A) के मूल, A के आइगनमानों के बराबर होंगे। यह भी स्पष्ट है कि यह सारणिक वस्तुत: λ का एक बहुपद होगा।

उदाहरण

माना कि हम निम्नलिखित मैट्रिक्स का लाक्षणिक बहुपद निकालना चाहते हैं -

$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

इसके लिये हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स का सारणिक ज्ञात करना पड़ेगा-

$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}$

और इस मैट्रिक्स का सारणिक का मान निकालने पर-

$(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.\,\!$

यही मैट्रिक A का लाक्षणिक बहुपद है।

लाक्षणिक बहुपद के गुणधर्म

• लाक्षणिक बहुपद का सबसे महत्वपूर्ण गुण यह है कि इसके मूल वही होते हैं जो मैट्रिक्स A के आइगनमान।
• लाक्षणिक बहुपद का घात मैट्रिक्स A के आर्दर के बराबर होता है।

इन्हें भी देखें

• रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equation)