डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म

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गणित में डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म या डीटीएफटी (discrete-time Fourier transform or DTFT), फुरिअर विश्लेषण के कई रुपों में से एक रूप है। यह अनन्त तक परिभाषित किसी अनावर्ती (नॉन्-पेरिऑडिक) डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस को रूपानतरित करता है। इसे यह भी कहते हैं कि समय-डोमेन का आंकड़ा आवृत्ति-डोमेन में बदल गया। डीटीएफटी द्वारा प्राप्त आवृत्ति-डोमेन का आंकड़ा सतत (कांटिन्युअस) एवं आवर्ती होता है।

डीटीएफटी की परिभाषा[संपादित करें]

यदि कोई वास्तविक (real) या समिश्र (complex) संख्याओं का समुच्चय : (पूर्णांक), दिया हो तो का डीटीएफटी प्रायः इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

व्युत्क्रम रुपान्तर (Inverse transform)[संपादित करें]

निम्नलिखित रुपान्तर करने पर डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस फिर से प्राप्त हो जायेगा:

The integrals span one full period of the DTFT, which means that the x[n] samples are also the coefficients of a Fourier series expansion of the DTFT.   Infinite limits of integration change the transform into a continuous-time Fourier transform [inverse], which produces a sequence of Dirac impulses. That is:

डीटीएफटी की सूची[संपादित करें]

नीचे कुछ मानक डिस्क्रीट टाइम सेक्वेंस एवं उनके डीटीएफटी रुपानतर दिये हुए हैं। इसमें प्रयुक्त प्रतीकों का अर्थ निम्नवत है:

  • is an integer representing the discrete-time domain (in samples)
  • is a real number in , representing continuous angular frequency (in radians per sample).
    • The remainder of the transform is defined by:
  • is the discrete-time unit step function
  • is the normalized sinc function
  • is the Dirac delta function
  • is the Kronecker delta
  • is the rectangle function for arbitrary real-valued t:
  • is the triangle function for arbitrary real-valued t:
Time domain
Frequency domain
Remarks
integer M
integer M
real number a
real number a
real number a
integer M
real number a
real number W
real numbers W, a
it works as a differentiator filter
real numbers W, a
Hilbert transform
Trapezoid signal.png real numbers A, B
complex C

डीटिएफटी के गुणधर्म[संपादित करें]

This table shows the relationships between generic discrete-time Fourier transforms. We use the following notation:

  • is the convolution between two signals
  • is the complex conjugate of the function x[n]
  • represents the correlation between x[n] and y[n].

The first column provides a description of the property, the second column shows the function in the time domain, the third column shows the spectrum in the frequency domain:

Property Time domain Frequency domain Remarks
Linearity
Shift in time integer k
Shift in frequency (modulation) real number a
Time reversal
Time conjugation
Time reversal & conjugation
Derivative in frequency
Integral in frequency
Convolve in time
Multiply in time
Correlation

सममिति के गुण (Symmetry Properties)[संपादित करें]

फुरिअर रुपान्तर, वास्तविक एवं काल्पनिक (real and imaginary) या सम एवं विषम (even and odd) के योग के रूप में व्यक्त की जा सकती है।

या

Time Domain
Frequency Domain