अभिलक्षणिक मान तथा अभिलक्षणिक सदिश

किसी अशून्य वर्ग मैट्रिक्स $A$ का अभिलाक्षणिक सदिश (आइगेन वेक्टर / eigenvector) $v$ वह अशून्य सदिश है जो निम्नलिखित विशेषता रखता है-

$Av=\lambda v$

जहाँ $\lambda$ एक संख्या है। इसे $A$ का अभिलाक्षणिक मान (आइगेन मान / eigenvalue) कहा जाता है।

उदाहरण

$A={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}},$

के लिए सदिश

$v={\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}$

अभिलाक्षणिक सदिश है जिसका अभिलाक्षणिक मान 2 है। क्योंकि,

$Av={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 4+1\cdot (-4)\\1\cdot 4+3\cdot (-4)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}8\\-8\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}.$

लेकिन निम्नलिखित सदिश

$v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

अभिलाक्षणिक सदिश नहीं है क्योंकि

${\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+3\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}},$

तथा यह सदिश मूल सदिश $v$ का कोई गुणक (multiple) नहीं है।

दूसरा उदाहरण

मैट्रिक्स

$A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}},$

हो तो,

$A{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}=0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \quad$

$A{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad \quad$ तथा

$A{\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\4\\0\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}.$

अतः सदिश $[1,0,0]^{\top }$, $[0,0,1]^{\top }$ और $[1,2,0]^{\top }$ सदिश $A$ के अभिलाक्षणिक सदिश हैं तथा संगत अभिलाक्षणिक मान क्रमशः 0, 3 और 2 हैं। (यहाँ संकेत ${}^{\top }$ मैट्रिक्स के ट्रांसपोज का प्रतीक है।