त्रिकोणमिति

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त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज और त्रिभुजों से बनने वाले बहुभुजों का अध्य्यन होता है। त्रिकोणमिति का शब्दिक अर्थ है त्रिभुज का मापन। त्रिकोणमिति में सबसे अधिक महत्वपूर्ण है समकोण त्रिभुज का अध्ययन। त्रिभुजों और बहुभुजों की भुजाओं की लम्बाई और दो भुजाओं के बीच के कोणों का अध्ययन करने का मुख्य आधार यह है कि समकोण त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं (आधार, लम्ब व कर्ण) का अनुपात उस त्रिभुज के कोणों के मान पर निर्भर करता है। त्रिकोणमिति का ज्यामिति की प्रसिद्ध बौधायन प्रमेय (पायथागोरस प्रमेय) से गहरा सम्बन्ध है।

त्रिकोणमितीय अनुपात[संपादित करें]

त्रिभुज ABC

कोज्या (कोज) स्पर्शज्या (स्पर) व्युज्या (व्युज) व्युकोज्या (व्युक) व्युस्पर्शज्या (व्युस)

एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं; कर्ण, लम्ब व आधार की लम्बाई के आपस में अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपात कहा जाता है। तीन प्रमुख त्रिकोणमितीय अनुपात हैं:

ज्या (स) = लम्ब/कर्ण
कोज (स)= आधार/कर्ण
स्पर (स)= लम्ब/आधार

बाकी तीन अनुपात ऊपर के अनुपातों का व्युत्क्रम होते हैं:

व्युज (स) = कर्ण/लम्ब
व्युक (स)= कर्ण/आधार
व्युस (स)= आधार/लम्ब

कोण आधार और कर्ण के बीच के कोण का मान है। त्रिकोणमिति की लगभग सभी गणनाओं में त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग किया जाता है। स्पर (स) = ज्या (स) / कोज (स) व्युस (स) = कोज (स) / ज्या (स)

दूसरा तरीका : त्रिकोणमित्तीय फलनों की परिभाषा कोण के 'सामने की भुजा', 'संलग्न भुजा' एवं कर्ण के अनुपातों के रूप में याद करने से कभी 'लम्ब' या 'आधार' का भ्रम नहीं रहता। नीचे opp = सामने की भुजा ; adj = संलग्न भुजा तथा hyp = कर्ण

 \sin A = {\mbox{opp} \over \mbox{hyp}} = {a \over c}
 \qquad \cos A = {\mbox{adj} \over \mbox{hyp}} = {b \over c}
 \qquad \tan A = {\mbox{opp} \over \mbox{adj}} = {a \over b}

त्रिकोणमितीय अनुपात और बौधायन प्रमेय[संपादित करें]

बौधायन प्रमेय के अनुसार : कर्ण = लम्ब + आधार

इस प्रकार किसी भी कोण के लिये : ज्या(स) + कोज(स) = १

बौधायन प्रमेय से यह भी स्पष्ट है कि किसी भी कोण के लिये ज्या और कोज्या का धनात्मक मान ० और १ के बीच ही हो सकता है।

कुछ कोणों का त्रिकोणमितीय मान[संपादित करें]

टिप्पणी : भारत के महान गणितज्ञ आर्यभट्ट ने चौथी शताब्दी में शून्य से ९० अंश के बीच चौबीस कोणों के ज्या के मानों की सारणी प्रस्तुत की थी।

निम्नलिखित तालिका कुछ प्रमुख कोणों का त्रिकोणमितीय मान दर्शाती है:

ज्या कोज्या स्पर्शज्या कोस्पर्शज्या व्युकोज्या व्युज्या
०° 0 1 0 \infty 1 \infty
३०° 1/2 \sqrt{3}/2 1/\sqrt{3} \sqrt{3} 2/\sqrt{3} 2
४५° 1/\sqrt{2} 1/\sqrt{2} 1 1 \sqrt{2} \sqrt{2}
६०° \sqrt{3}/2 1/2 \sqrt{3} 1/\sqrt{3} 2 2/\sqrt{3}
९०° 1 0 \infty 0 \infty 1

इन्हें भी देखें[संपादित करें]