समूह (गणितशास्त्र)

रुबिक घन समूह से रुबिक घन प्रहस्तन।

गणितशास्त्र में समूह एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक अंतर्निहित समुच्चय व उसपर कार्य करने वाली एक द्विआधारी संक्रिया होते हैं, जो कि समुच्चय के किन्हीं दो अवयवों को जोडने पर एक तीसरा अवयव देती है। एक समूह कहलाने के लिए किसी समुच्चय और संक्रिया पर चार प्रतिबंध होते हैं जिन्हें समूह अभिगृहीत कहते हैं। यह इस प्रकार हैं - संवृति, सहचारिता, तत्समक एवं व्युत्क्रमणीयता। कई सुपरिचित गणितीय संरचनाएँ इन अभिगृहीतों का पालन करती हैं, उदाहरणार्थ पूर्णांक योगफल करने की संक्रिया के तहत एक समूह बनाते हैं।

समूह सिद्धांत
मूलभुत धारणा सामिसमूह प्रसामान्य सामिसमूह भाजक समूह (Semi-)क्रमागत गुणा साँचा:Sidebar subsection
परिमित समूह साँचा:Longlink चक्रिय समूह Z/n सममित समूह Sn द्वितल समूह Dn परिवर्ती समूह An Baby Monster group (B) Monster group (M)
विविक्त समूह जालक पूर्णांक (Z) जालक साँचा:Longlink
सांस्थितिकीय / ली समूह परिनालिका वृत सामान्य रैखिक GL(n) विशिष्ट रैखिक SL(n) लम्बवत O(n) यूक्लिडीय E(n) विशिष्ट लम्बवत SO(n) ऐकिक U(n) विशिष्ट ऐकिक SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 लोरेन्ज Poincaré रूपांतरण Diffeomorphism लूप साँचा:Longlink
बीजगणितीय समूह दीर्घवृतीय वक्र रैखिक Abelian variety

बीजगणितीय संरचना
समूह-सदृश सामिसमूह / Monoid अर्ध-समूह और वलय Abelian group Magma
वलय-सदृश वलय Semiring Near-ring क्रमविनिमय वलय Domain Integral domain क्षेत्र
जालक-सदृश Lattice अर्द्ध-जालक जालक पैमाना
उपागम-सदृश उपागम संकारकों के साथ समूह सदिश समष्टि
बीजगणित-सदृश बीजगणित Associative अ-साहचर्य Graded Bialgebra

परिभाषा और चित्रण

प्रथम उदाहरण : पूर्णांक

एक चिर-परिचित समूह, पूर्णांको Z का समुच्चय जिसमें संख्याएं

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...,जहाँ द्विचर संक्रिया जोड़ (+) है।

परिभाषा

यदि समुच्चय में एक द्विचर संक्रिया * इस तरह से परिभाषित हो :

बंद

∀ a, b ∈ G ⇒ a*b ∈ G

साहचर्य 

∀ a, b, c ∈ G ⇒ a*(b*c) = (a*b)*c

इकाई अवयव 

∃ e ∈ G, s.t. ∀ a ∈ G => a*e = a = e*a .

व्युत्क्रम अवयव 

प्रत्येक a ∈ G के लिए b ∈ G s.t. a*b = b*a = e

तो इसे एक समूह कहा जाता है तथा इसे (G, *) से निरुपित किया जाता है।

एक समूह का क्रमविनिमय होना आवश्यक नहीं है। अथवा यदि a, b ∈ G तो हो सकता है a*b ≠ b*a

इतिहास

अमूर्त समूह की आधुनिक अवधारणा गणित के कई क्षेत्रों से विकसित हुई। इसकी शुरुात बहुपद समीकरण के हल से हुई।

स्वतः प्रमाणित कुछ मूलभूत परिणाम

a*b*c = a*(b*c) = (a*b)*c

ये भी देखें

• क्रमविनिमय समूह
• समूह वलय
• समूह बीजगणित
• यूक्लिडीय समूह
• मुक्त समूह
• en:Finitely presented group
• मूलभूत समूह
• शून्यंभावी समूह
• अक्रमविनिमय समूह
• Grothendieck समूह
• समानयन समूह
• समाधेय समूह
• भौतिकी में सममिति
• प्रमात्रा समूह