प्वासों समीकरण

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गणित में, प्वासों समीकरण (Poisson's equation) एक आंशिक अवकल समीकरण (partial differential equation) है। यह दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण है जो विद्युतस्थैतिकी, यांत्रिक इंजीनिररी तथा सैद्धांतिक भौतिकी में बहुत प्रयुक्त होता है। इसका यह नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ तथा भौतिकशास्त्री साइमन डेनिस प्वासों (Siméon-Denis Poisson) के नाम पर रखा गया है।

त्रिबीमीय कार्तीय निर्देशांकों में प्वासों के समीकरण का स्वरूप निम्नलिखित है-


\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

जहाँ f तथा φ वास्तविक या समिश्र मान वाले फलन हैं; ∇2 लाप्लास का आपरेटर है। अतः प्वासों का समीकरण प्रायः निम्नलिखित संक्षिप्त रूप में लिखा जाता है-

\nabla^2 \varphi = f.


यदि f, शून्य हो तो प्वासों का समीकरण ही लाप्लास समीकरण बन जाता है जो निम्नलिखित है-

{\nabla}^2 \varphi = 0. \!

प्वासों का समीकरण ग्रीन फलन (Green's function) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके अलावा इसको हल करने के लिये अनेकों आंकिक विधियाँ भी हैं; जैसे रिलैक्सेसन विधि (relaxation method) जो एक पुनरावर्ती विधि (इटरेटिव अल्गोरिद्म) है।

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