जेड रूपान्तर

गणित एवं संकेत प्रसंस्करण में जेड रूपान्तर (Z-transform) किसी डिस्क्रीट टाइम-डोमेन संकेत को समिश्र (कम्प्लेक्स) आवृत्ति-डोमेन में बदलता है। डिस्क्रीट टाइम-डोमेन संकेत से तात्पर्य ऐसे संकेत से है जो केवल कुछ निश्चित समयों पर अशून्य मान रखता है, शेष समय वह शून्य रहता है।

जेड-रूपान्तर को लाप्लास रूपान्तर का विविक्त-समय अनुरूप (discrete-time equivalent) के रूप में समझा जा सकता है। इसका उपयोग आंकिक संकेत प्रसंस्करण (डीएसपी) एवं आंकिक नियंत्रण (डिजिटल कन्ट्रोल) में किया जाता है।

परिभाषा

द्विपक्षीय Z-रूपान्तर

$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

एकपक्षीय Z-रूपान्तर

$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}. \$

गुण

z-ट्रांसफॉर्म के गुण

	समय-डोमेन्	Z-डोमेन	सिद्धि	ROC
निरूपण	$x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}$		ROC: $r_2<|z|<r_1 \$
रैखिकता (Linearity)	$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]\$	$a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \$	$\begin{array} {lcl} X(z) = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n}\ & \\ = a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} (x_1(n))z^{-n} + & \\ a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x_2(n))z^{-n} & \\ = a_1X_1(z) + a_2X_2(z)\end{array}$	At least the intersection of ROC1 and ROC2
Time expansion	$x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[r], & n = rk \\ 0, & n \not= rk \end{cases}$ $r$: integer	$X(z^k) \$	$\begin{array} {lcl} X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_k(n)z^{-n} = & \\ = \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rk} = & \\ =\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{k})^{-r} = & \\ = X(z^{k}) \end{array}$	R^{1/k}
Time shifting	$x[n-k]\$	$z^{-k}X(z) \$	$\begin{array} {lcl} Z\{x[n-k]\} = & \\ \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\& \\ \text{ ,let }j = n - k & \\ = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}& \\ = \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k}& \\ = z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}& \\ = z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} & \\ \text{ , since }x[\beta]=0 \text{ if }\beta<0 & \\ = z^{-k}X(z)& \\ \end{array}$	ROC, except $z=0\$ if $k>0\,$ and $z=\infty$ if $k<0\$
Scaling in the z-domain	$a^n x[n]\$	$X(a^{-1}z) \$	$\begin{array} {lcl} Z \{a^n x[n]\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n}& \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} & \\ = X(a^{-1}z) & \\ \end{array}$	$|a|r_2<|z|<|a|r_1 \$
Time reversal	$x[-n]\$	$X(z^{-1}) \$	$\begin{array} {lcl} \mathcal{Z}\{x(-n)\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n}\ & \\ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\ & \\ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\ & \\ = X(z^{-1}) & \\ \end{array}$	$\frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2} \$
Complex conjugation	$x^*[n]\$	$X^*(z^*) \$	$\begin{array} {lcl}Z\{x^*(n)\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\ & \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} [x(n)(z^*)^{-n}]^*\ & \\ = [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\ ]^* & \\ = X^*(z^*)& \\ \end{array}$	ROC
Real part	$\operatorname{Re}\{x[n]\}\$	$\frac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]$		ROC
Imaginary part	$\operatorname{Im}\{x[n]\}\$	$\frac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]$		ROC
Differentiation	$nx[n]\$	$-z \frac{dX(z)}{dz}$	$\begin{array} {lcl}Z\{nx(n)\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\ & \\ = z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\ & \\ = -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\ & \\ = -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})\ & \\ = -z \frac{dX(z)}{dz}& \\ \end{array}$	ROC
Convolution	$x_1[n] * x_2[n]\$	$X_1(z)X_2(z) \$	$\begin{array} {lcl}\mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = & \\ \mathcal{Z} \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)\}\ & \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}\ & \\ =\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} ]\ & \\ =[\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l}] [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} ]\ & \\ =X_1(z)X_2(z)& \\ \end{array}$	At least the intersection of ROC1 and ROC2
Cross-correlation	$r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]\$	$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(1/z^*)X_2(z)\$		At least the intersection of ROC of $X_1(1/z^*)$ and $X_2(z)$
First difference	$x[n] - x[n-1] \$	$(1-z^{-1})X(z) \$		At least the intersection of ROC of X1(z) and $|z|>0$
Accumulation	$\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\$	$\frac{1}{1-z^{-1} }X(z)$	$\begin{array} {lcl}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\cdot z^{-n}\\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+x[n-1]+\\ x[n-2]\cdots x[-\infty])z^{-n}\\ =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\ =X[z]\sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\ =X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}$
Multiplication	$x_1[n]x_2[n]\$	$\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v \$		-
Parseval's relation	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n]\$	$\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\frac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v \$

• Initial value theorem

$x[0]=\lim_{z\rightarrow \infty}X(z) \$, If $x[n]\,$ causal

• Final value theorem

$x[\infty]=\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)X(z) \$, Only if poles of $(z-1)X(z) \$ are inside the unit circle

प्रमुख Z-रूपान्तर युग्म

यहाँ:

• $u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$
• $\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

	Signal, $x[n]$	Z-transform, $X(z)$	ROC
1	$\delta[n] \,$	$1\,$	$\mbox{all }z\,$
2	$\delta[n-n_0] \,$	$z^{-n_0} \,$	$z \neq 0\,$
3	$u[n] \,$	$\frac{1}{1-z^{-1} }$	$|z| > 1\,$
4	$\, e^{-\alpha n} u[n]$	$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$	$|z| > |e^{-\alpha}| \,$
5	$-u[-n-1] \,$	$\frac{1}{1 - z^{-1}}$	$|z| < 1\,$
6	$n u[n] \,$	$\frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}$	$|z| > 1\,$
7	$- n u[-n-1] \,$	$\frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }$	$|z| < 1 \,$
8	$n^2 u[n] \,$	$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$	$|z| > 1\,$
9	$- n^2 u[-n - 1] \,$	$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$	$|z| < 1\,$
10	$n^3 u[n] \,$	$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$	$|z| > 1\,$
11	$- n^3 u[-n -1] \,$	$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$	$|z| < 1\,$
12	$a^n u[n] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| > |a|\,$
13	$-a^n u[-n-1] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| < |a|\,$
14	$n a^n u[n] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| > |a|\,$
15	$-n a^n u[-n-1] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| < |a|\,$
16	$n^2 a^n u[n] \,$	$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$	$|z| > |a|\,$
17	$- n^2 a^n u[-n -1] \,$	$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$	$|z| < |a|\,$
18	$\cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
19	$\sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
20	$a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$
21	$a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$

इन्हें भी देखें

• लाप्लास रूपान्तर
• फुरिये रूपान्तर

बाहरी कड़ियाँ

• Z-Transform table of some common Laplace transforms
• Mathworld's entry on the Z-transform
• Z-Transform threads in Comp.DSP
• Z-Transform Module by John H. Mathews