जेड रूपान्तर

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गणित एवं संकेत प्रसंस्करण में जेड रूपान्तर (Z-transform) किसी डिस्क्रीट टाइम-डोमेन संकेत को समिश्र (कम्प्लेक्स) आवृत्ति-डोमेन में बदलता है। डिस्क्रीट टाइम-डोमेन संकेत से तात्पर्य ऐसे संकेत से है जो केवल कुछ निश्चित समयों पर अशून्य मान रखता है, शेष समय वह शून्य रहता है।

जेड-रूपान्तर को लाप्लास रूपान्तर का विविक्त-समय अनुरूप (discrete-time equivalent) के रूप में समझा जा सकता है। इसका उपयोग आंकिक संकेत प्रसंस्करण (डीएसपी) एवं आंकिक नियंत्रण (डिजिटल कन्ट्रोल) में किया जाता है।

परिभाषा[संपादित करें]

द्विपक्षीय Z-रूपान्तर[संपादित करें]

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

एकपक्षीय Z-रूपान्तर[संपादित करें]

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}. \

गुण[संपादित करें]

z-ट्रांसफॉर्म के गुण
समय-डोमेन् Z-डोमेन सिद्धि ROC
निरूपण x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} ROC: r_2<|z|<r_1 \
रैखिकता (Linearity) a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]\ a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \ \begin{array} {lcl} X(z) = & \\
         \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n}\ & \\
         = a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} (x_1(n))z^{-n} + & \\
a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x_2(n))z^{-n} & \\
         = a_1X_1(z) + a_2X_2(z)\end{array} At least the intersection of ROC1 and ROC2
Time expansion x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[r], & n = rk \\ 0, & n \not= rk \end{cases}

r: integer

X(z^k) \ \begin{array} {lcl} X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_k(n)z^{-n} = & \\
= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rk} = & \\
=\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{k})^{-r} = & \\
= X(z^{k}) \end{array} R^{1/k}
Time shifting x[n-k]\ z^{-k}X(z) \  \begin{array} {lcl} Z\{x[n-k]\} = & \\ 
\sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\& \\
\text{   , let }j = n - k & \\
= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}& \\
= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k}& \\
= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}& \\
= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} & \\
\text{   , since }x[\beta]=0 \text{ if }\beta<0 & \\
= z^{-k}X(z)& \\
\end{array} ROC, except z=0\ if k>0\, and z=\infty if k<0\
Scaling in

the z-domain

a^n x[n]\ X(a^{-1}z) \ \begin{array} {lcl} Z \{a^n x[n]\} = & \\
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n}& \\
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} & \\
= X(a^{-1}z) & \\
\end{array} |a|r_2<|z|<|a|r_1 \
Time reversal x[-n]\ X(z^{-1}) \ \begin{array} {lcl} \mathcal{Z}\{x(-n)\} = & \\ 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n}\ & \\
= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\ & \\
= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\ & \\
= X(z^{-1}) & \\
\end{array} \frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2} \
Complex conjugation x^*[n]\ X^*(z^*) \ \begin{array} {lcl}Z\{x^*(n)\} = & \\ 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\ & \\
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} [x(n)(z^*)^{-n}]^*\ & \\
= [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\ ]^* & \\
= X^*(z^*)& \\
\end{array} ROC
Real part \operatorname{Re}\{x[n]\}\ \frac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right] ROC
Imaginary part \operatorname{Im}\{x[n]\}\ \frac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right] ROC
Differentiation nx[n]\  -z \frac{dX(z)}{dz} \begin{array} {lcl}Z\{nx(n)\} = & \\   
\sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\  & \\
= z  \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\ & \\
= -z  \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\ & \\
= -z  \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})\ & \\
= -z \frac{dX(z)}{dz}& \\
\end{array} ROC
Convolution x_1[n] * x_2[n]\ X_1(z)X_2(z) \ \begin{array} {lcl}\mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = & \\
                                   \mathcal{Z} \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)\}\ & \\
                                   = \sum_{n=-\infty}^{\infty} [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}\ & \\
                                   =\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} ]\ & \\
                                   =[\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l}] [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} ]\ & \\
                                   =X_1(z)X_2(z)& \\
\end{array} At least the intersection of ROC1 and ROC2
Cross-correlation r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]\ R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(1/z^*)X_2(z)\ At least the intersection of ROC of X_1(1/z^*) and X_2(z)
First difference x[n] - x[n-1] \  (1-z^{-1})X(z) \ At least the intersection of ROC of X1(z) and |z|>0
Accumulation \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\  \frac{1}{1-z^{-1} }X(z) \begin{array} {lcl}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\cdot z^{-n}\\
        =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+x[n-1]+\\
x[n-2]\cdots x[-\infty])z^{-n}\\
        =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots)\\
        =X[z]\sum_{j=0}^{\infty}z^{-j}   \\
        =X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}
Multiplication x_1[n]x_2[n]\ \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v \ -
Parseval's relation \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n]\ \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\frac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v \
x[0]=\lim_{z\rightarrow \infty}X(z) \ , If x[n]\, causal
x[\infty]=\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)X(z) \ , Only if poles of (z-1)X(z) \ are inside the unit circle

प्रमुख Z-रूपान्तर युग्म[संपादित करें]

यहाँ:

  • u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}
  • \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}
Signal, x[n] Z-transform, X(z) ROC
1 \delta[n] \, 1\,  \mbox{all }z\,
2 \delta[n-n_0] \,  z^{-n_0} \,  z \neq 0\,
3 u[n] \,  \frac{1}{1-z^{-1} } |z| > 1\,
4 \, e^{-\alpha n} u[n]    1 \over 1-e^{-\alpha  }z^{-1}   |z| >  |e^{-\alpha}| \,
5   -u[-n-1] \,  \frac{1}{1 - z^{-1}} |z| < 1\,
6  n u[n] \,  \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} |z| > 1\,
7  - n u[-n-1] \,  \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }  |z| < 1 \,
8 n^2 u[n] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1})}{(1 - z^{-1})^3} |z| > 1\,
9  - n^2 u[-n - 1] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1})}{(1 - z^{-1})^3} |z| < 1\,
10 n^3 u[n] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2})}{(1-z^{-1})^4} |z| > 1\,
11 - n^3 u[-n -1] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2})}{(1-z^{-1})^4} |z| < 1\,
12 a^n u[n] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|\,
13 -a^n u[-n-1] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
14 n a^n u[n] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
15 -n a^n u[-n-1] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|\,
16 n^2 a^n u[n] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| > |a|\,
17 - n^2 a^n u[-n -1] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| < |a|\,
18 \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
19 \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
20 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-a z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,
21 a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,

इन्हें भी देखें[संपादित करें]

सन्दर्भ[संपादित करें]

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]