डीरिख्ले ईटा फलन

सम्मिश्र तल में डीरिख्ले ईटा फलन $\eta (s)$, जिसमें बिन्दु $s$ का रंग $\eta (s)$ के मान को निरुपित करता है। गहरा रंग इसके मान को शून्य के निकट बताता है और रंग इसके मान का द्योतक है।

गणित में, विश्लेषी संख्या सिद्धान्त के क्षेत्रफल में, 'डीरिख्ले ईटा फलन निम्नलिखित डीरिख्ले श्रेणी से परिभाषित किया जाता है जो किसी भी सम्मिश्र संख्या पर अभिसरित होती है जिसका वास्तविक भाग शून्य से अधिक है:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$

डीरिख्ले श्रेणी रीमान जीटा फलन ζ(s) के डीरिख्ले विस्तार के प्रत्यावर्ती योग के तुल्य है — इसी कारण से डीरिख्ले ईटा फलन को प्रत्यावर्ती जीटा फलन भी कहते हैं और इसे ζ*(s) से निरुपित करते हैं। इसका निम्नलिखित सरल सम्बंध होता है:

$\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)$