डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर

डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर ( discrete Fourier transform (DFT) ) एक रूपान्तर है जो डिस्क्रीट-समय संकेतों को एक दूसरे रूप में बदल देता है। तकनीकी रूप से इसे समय-डोमेन संकेत को आवृत्ति-डोमेन संकेत में परिवर्तन के रूप में समझा जाता है। डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर, डिस्क्रीट-टाइम फुरिअर रूपान्तर (DTFT) से भिन्न है। व्यावहारिक दृष्टि से डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर की गणना किसी उपयुक्त त्वरित फुरिअर रूपान्तर (FFT) की सहायता से की जाती है।

परिभाषा

डिस्क्रीट फुरिअर रूपानतर, N समिश्र संख्याओं की श्रेणी x₀, ..., x_N−1 को N दूसरी समिश्र संख्याओं X₀, ..., X_N−1 में बदल देता है। यह रूपानतर निम्नलिखित सम्बन्ध के अनुसार होता है:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} k n} \quad \quad k = 0, \dots, N-1$

जहाँ $e^{\frac{2 \pi i}{N}}$ इकाई का N-वां मूल (Nth root of Unity) है।

कभी-कभी इस रूपान्तर को $\mathcal{F}$ से भी प्रदर्शित किया जाता है। जैसे - $\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \}$ or $\mathcal{F} \left ( \mathbf{x} \right )$ or $\mathcal{F} \mathbf{x}$.

व्युत्क्रम डिस्क्रीट फुरिअर रूपानतर (IDFT) निम्नलिखित तरीके से निकाला जाता है:

$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n} \quad \quad n = 0,\dots,N-1.$

प्रमुख उपयोग

• वर्णक्रम का विश्लेषण (Spectral analysis) करने में
• आंकडों को संप्रेषित करने में ( Data compression )
• आंशिक अवकलज समीकरण (Partial differential equations) के हल के लिये
• बडे पूर्णांकों के गुणनफल निकालने में

कुछ डिस्क्रीट-टाइम सिगनल एवं उनके डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर

Some DFT pairs

$x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \cdot e^{i 2 \pi kn/N}$	$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n \cdot e^{-i 2 \pi kn/N}$	Note
$x_n \cdot e^{i 2 \pi nl/N} \,$	$X_{k-l}\,$	Shift theorem
$x_{n-l}\,$	$X_k \cdot e^{-i 2 \pi kl/N}$
$x_n \in \mathbb{R}$	$X_k=X_{N-k}^*\,$	Real DFT
$a^n\,$	$\frac{1-a^N}{1-a \cdot e^{-i 2 \pi k/N} }$
${N-1 \choose n}\,$	$\left(1+e^{-i 2 \pi k/N} \right)^{N-1}\,$

इन्हें भी देखें

त्वरित फुरिअर रूपान्तर

वाह्य सूत्र

• Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III
• Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL)