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यहाँ कुछ प्रमुख गुणनफल दिये गये हैं जिनके प्रयोग से गुणनखण्ड एवं अन्य कार्यों में बहुत सुविधा होती है।
उभयनिष्ट गुणक (common factor)[संपादित करें]
उभयनिष्ट गुणक का चित्रात्मक निरूपण
![{\displaystyle c(a+b)=ca+cb\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fddefcdfb4c0c5cf1fc61bdaf60cf4274ac2aa)
- उदाहरण
![{\displaystyle 3x(4x+6y)=12x^{2}+18xy\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bbe4472cad0baeb05fe5b64e95778b9f7c9997)
द्विपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण
![{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a118ec24c36c8c70800e61f344aafdcbdb5d63)
त्रिपदी व्यंजक :
, पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है।
इसी प्रकार,
![{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e45629c03fd6381b4fa315d9997d1dafb1b65ad)
- उदाहरण
![{\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be3fb292a1aafb45a5625fe0903537abd9e5706)
सरल करने पर:
![{\displaystyle (2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9814fd813f7fd872b9ca1cca1f61e93e7cb3f943)
दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो[संपादित करें]
चित्रात्मक निरूपण
![{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b65c85ad4c3a8b5b8ca75c2ea076d79dac0085)
- उदाहरण
![{\displaystyle (3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff43d904e9d07372c164ea7db767649cfb0c0309)
पदों को एकत्र करने पर:
![{\displaystyle (3x+4)(3x-7)=9x^{2}-21x+12x-28\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867719e8e7f76ef0a2ec3d893ae6378370c9029c)
या:
![{\displaystyle (3x+4)(3x-7)=9x^{2}-9x-28\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e10b1dae26d013fce93839f4996c61e7378462)
दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)[संपादित करें]
'द्विपद युग्म' का गुणनफल
![{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ac9be6823863190380fe6745aa24a446967f5b)
- उदाहरण
![{\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955f0c275313b1a0bfb9d33c87c408456daa0711)
![{\displaystyle (3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680afd2234f02db16b2137a08e70ae78414cf510)
पदों को एकत्र करने पर:
![{\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d197e4f95caf4d0001809a029f0bee82a1cacfec)
एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण
![{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30bd903cefd4b9dc52cb8fb5ff239cc55fdd8df)
![{\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f02396d5d8482707ab138d491d5162b020ff638)
- उदाहरण
![{\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5490da30a28ede18f7a84a8cfa230fb5fa45dcf8)
गुणा करने पर:
![{\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81b78dee8be346520f411ad1a93d7cdd390e475)
![{\displaystyle +2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc74fd72df32e091e7f455d8ea13d029e66beb22)
![{\displaystyle +(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d585f7d48472e062b295bed73fe99a2143071bb)
पदों को एकत्र करने के बाद:
![{\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd27afab3bc3d6de3807d5e1486bedec69976fe)
या:
![{\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f514b172362120381fa2619e664862a563f42af)
द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण
![{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad4763b3734239fded9c0ea6380c7e9fc3c24a)
काशी (Cauchy) सर्वसमिका:
![{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01eb2a45902c7f4a4c9a908760c1357da2c4891)
- उदाहरण
![{\displaystyle (x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b06d98a40b74fa710114ed3e7d287443dad414)
पदों का समूह बनाने के बाद:
![{\displaystyle (x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa5d26aeb0f511768da0f9fcbd07caffa288118)
इसी प्रकार,
![{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970bd2f5fb8335243e0d780b4d5a63e15a8e74f7)
काशी (Cauchy) सर्वसमिका:
![{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e51d31ba7406caa1aa2d069ceb8fba09f9baa8d)
- उदाहरण
![{\displaystyle (x-2y)^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}-(2y)^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d598c14e6ea5f8b27fea5cb405345ca2bdb51954)
पदों का समूह बनाने के बाद:
![{\displaystyle (x-2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf85b7a89e6e5ac0a316fc51daea90e8d643db8)
आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)[संपादित करें]
![{\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d2cded99837058278d143a7f53dd31c58d7e13)
गाउस (Gauss) की सर्वसमिका[संपादित करें]
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13ee0a40f04f007be2138d22c18719dfad0f319)
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861b04d0eb0a8d7e5f8bec4a258a7d9665049b4)
लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका[संपादित करें]
![{\displaystyle (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64927b64c2ba0fbaf63342762d36e0d53c53e86)
![{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4d98e3d04f6749f5acccbd83c3d6b9a42e3447)
![{\displaystyle (a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08845dc20add5ec1e0434cee6008445ab4d968e2)
लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका[संपादित करें]
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd368a3f31e7ae8744fe131eba83dbc333e49b7)
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590eb20bdbed6e0ba85585678a798df5150d64c3)
- घनों का योग
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8787aea97a9ccde2e1a7647b529afc9537f4107)
- घनों का अन्तर
![{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc002e210eead1d0b2e7ede1728e3849a5277efe)
- nवें घातों का योग
- यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो,
![{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526f8ea4f66761c4fc68ee6e85602dd5606dc99f)
- nवें घातों का अन्तर
![{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ddfde4c0fc479ab5936dd29375b56b0d4a86b2)
निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-
![{\displaystyle a^{3}=\left({\frac {(a+1)a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(a-1)a}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e780522b77f1f70e135076176b17472b9533c2)
साँचा:Lien BA