क्रमगुणित

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क्रमगुणित:- 1 से लेकर n तक की लगातार संख्याओं के गुणनफल को क्रमगुणित कहते हैं। इसे n! से दर्शाते हैं।
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
70	1.197857167×१०¹⁰⁰
100	9.332621544×१०¹⁵⁷
450	1.733368733×१०^1,000
1000	4.023872601×१०^2,567
3249	6.412337687×१०^10,000
10000	2.846259681×१०^35,659
25206	1.205703438×१०^1,00,000
100000	2.824229408×१०^4,56,573
205023	2.503898931×१०^10,00,004
1000000	8.263931687×१०^55,65,708
1723508	5.290070307×१०^1,00,00,001
2000000	3.776821058×१०^1,17,33,474
10000000	1.2024234×१०^6,56,57,059
14842907	2.788662974×१०^10,00,00,000

गणित में किसी अऋणात्मक पूर्णांक n का क्रमगुणित या 'फैक्टोरियल' वह संख्या है जो उस पूर्णांक n तथा उससे छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुननफल के बराबर होता है। इसे n!, से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिये,

5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\

0! का मान is 1 होता है।

गणित के अनेकों क्षेत्रों में क्रमगुणित का उपयोग करना पड़ता है, जिनमें से क्रमचय-संचय, बीजगणित तथा गणितीय विश्लेषण प्रमुख हैं।

इतिहास[संपादित करें]

क्रमगुणित की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है:

भारतीय गणित में, फैक्टोरियल का सबसे पहला ज्ञात विवरण अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है,^[1] जो जैन साहित्य के प्रामाणिक कार्यों में से एक है, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 ईसवी तक की तिथियां दी गई हैं।^[2] यह वस्तुओं के एक समूह के क्रमबद्ध और उलटे क्रम को अन्य ("मिश्रित") क्रमों से अलग करता है, तथा क्रमगुणित के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के लिए गुणन नियम का वर्णन 6वीं शताब्दी ई. के जैन भिक्षु जिनभद्र ने भी किया था।^[1] हिंदू विद्वान कम से कम ११५० के बाद से क्रमगुणित सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, जब भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में क्रमगुणित का उल्लेख किया था, एक समस्या के संबंध में कि विष्णु अपने चार विशिष्ट वस्तुओं (शंख, चक्र, गदा, और कमल का फूल) को अपने चार हाथों में कैसे पकड़ सकते हैं, और दस-हाथ वाले भगवान के लिए एक समान समस्या।^[3]

मध्य पूर्व के गणित में, सृष्टि की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक सेफर यतिजिराह, जो कि तल्मूडिक काल (200 से 500 ई.) की है, में 7! तक के क्रमगुणित की सूची दी गई है, जो कि हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच का एक हिस्सा है।^[4]^[5] 8वीं शताब्दी के अरब व्याकरणविद अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी ने भी इसी तरह के कारणों से क्रमगुणित का अध्ययन किया था।^[4] अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिन्हें अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, सी. 965 - सी. 1040) क्रमगुणित को अभाज्य संख्या से जोड़ने वाले विल्सन प्रमेय को तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे।^[6]

यूरोप में, हालांकि यूनानी गणित में कुछ संयोजन शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में 5,040 (एक क्रमगुणित) का इस्तेमाल किया था, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण,^[7] क्रमगुणित के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणित पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे कि शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जिसमें सेफर यतिज़िराह मार्ग की व्याख्या की गई थी।^[8] 1677 में, ब्रिटिश लेखक फेबियन स्टेडमैन ने चेंज रिंगिंग में क्रमगुणित के अनुप्रयोग का वर्णन किया, जो एक संगीत कला है जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों को बजाना शामिल है।^[9]^[10]

15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से क्रमगुणित पश्चिमी गणितज्ञों के अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पसिओली ने डाइनिंग टेबल व्यवस्था की एक समस्या के संबंध में 11! तक के क्रमगुणित की गणना की।^[11] क्रिस्टोफर क्लैवियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 की एक टिप्पणी में फैक्टोरियल पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मैरिन मर्सेन ने क्लैवियस के काम के आधार पर, 64! तक के फैक्टोरियल की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) सारणियां प्रकाशित कीं।^[12] घातांकीय फलन के लिए घात श्रेणी, इसके गुणांकों के लिए फैक्टोरियल के पारस्परिक के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज को लिखे एक पत्र में तैयार किया गया था।^[13] Other important works of early European mathematics on factorials include extensive coverage in a 1685 treatise by John Wallis, a study of their approximate values for large values of $n$ by Abraham de Moivre in 1721, a 1729 letter from James Stirling to de Moivre stating what became known as Stirling's approximation, and work at the same time by Daniel Bernoulli and Leonhard Euler formulating the continuous extension of the factorial function to the gamma function.^[14] Adrien-Marie Legendre included Legendre's formula, describing the exponents in the factorization of factorials into prime powers, in an 1808 text on number theory.^[15]

The notation $n!$ for factorials was introduced by the French mathematician Christian Kramp in 1808.^[16] Many other notations have also been used. Another later notation $\vert \!{\underline {\,n}}$ , in which the argument of the factorial was half-enclosed by the left and bottom sides of a box, was popular for some time in Britain and America but fell out of use, perhaps because it is difficult to typeset.^[16] The word "factorial" (originally French: factorielle) was first used in 1800 by Louis François Antoine Arbogast,^[17] in the first work on Faà di Bruno's formula,^[18] but referring to a more general concept of products of arithmetic progressions. The "factors" that this name refers to are the terms of the product formula for the factorial.^[19]

परिभाषा[संपादित करें]

एक धनात्मक पूर्णांक $n$ का क्रमगुणित फलन $n$ से छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जाता है।^[20]

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n.

इसे उत्पाद संकेतन में और अधिक संक्षिप्त रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है^[20]

n!=\prod _{i=1}^{n}i.

यदि इस गुणन सूत्र को अंतिम पद को छोड़कर बाकी सभी पदों को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक छोटे क्रमगुणित के लिए समान रूप का एक गुणनफल परिभाषित करेगा। यह एक पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार क्रमगुणित फलन का प्रत्येक मान पिछले मान को $n$ से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:^[21]

n!=n\cdot (n-1)!.

उदाहरण के लिए,

5!=5\cdot 4!=5\cdot 24=120

शून्य का क्रमगुणित[संपादित करें]

$0$ का क्रमगुणित $1$ है, या प्रतीकों में, $0!=1$ है। इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं:

$n=0$ के लिए, $n!$ की परिभाषा में गुणनफल के रूप में किसी भी संख्या का गुणनफल शामिल नहीं है, और इसलिए यह व्यापक सम्मेलन का एक उदाहरण है कि खाली गुणनफल, बिना किसी कारक का गुणनफल, गुणात्मक पहचान के बराबर है।^[22]

शून्य वस्तुओं का बिल्कुल एक क्रमचय है: क्रमचय करने के लिए कुछ भी न होने पर, कुछ भी नहीं करना ही एकमात्र पुनर्व्यवस्था है।^[21]

यह परिपाटी क्रमचय-संचय में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी वैध विकल्पों के लिए वैध बनाती है। उदाहरण के लिए, $n$ के एक सेट से सभी $n$ तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या ${\textstyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1,}$ एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल with $0!=1$ के साथ वैध होगी।^[23]

$0!=1$ के साथ, क्रमगुणित के लिए पुनरावृत्ति संबंध $n=1$ पर वैध रहता है। इसलिए, इस परिपाटी के साथ, क्रमगुणित की पुनरावर्ती गणना के लिए आधार मामले के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए, जिससे गणना सरल हो जाएगी और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता नहीं होगी।^[24]

$0!=1$ सेट करने से कई सूत्रों, जैसे कि घातांकीय फलन, को घात श्रेणी के रूप में संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की अनुमति मिलती है: ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$ ^[13]

यह विकल्प गामा फलन $0!=\Gamma (0+1)=1$ , से मेल खाता है और गामा फलन का सतत फलन होने के लिए यह मान होना चाहिए।^[25]

इन्हें भी देखें[संपादित करें]

सन्दर्भ[संपादित करें]

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बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]

Factorial calculators and algorithms

Factorial Calculator: instantly finds factorials up to 10^14!
Animated Factorial Calculator: shows factorials calculated as if by hand using common elementary school aglorithms
"Factorial" by Ed Pegg, Jr. and Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Fast Factorial Functions (with source code in Java, C#, C++, Scala and Go)

[datta-singh-1] अ ^आ दत्ता, बिभूतिभूषण; सिंह, अवदेश नारायण (2019). "Use of permutations and combinations in India". प्रकाशित कोलाचना, आदित्य; महेश, के.; रामसुब्रमण्यम, के. (संपा॰). भारतीय गणित और खगोल विज्ञान में अध्ययन: कृपाशंकर शुक्ल के चुनिंदा लेख. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer Singapore. पपृ॰ 356–376. S2CID 191141516. डीओआइ:10.1007/978-981-13-7326-8_18.. Revised by K. S. Shukla from a paper in Indian Journal of History of Science 27 (3): 231–249, 1992, साँचा:MR. पृष्ठ 363 देखें

[2] जाधव, दीपक (अगस्त 2021). "Jaina Thoughts on Unity Not Being a Number". History of Science in South Asia. University of Alberta Libraries. 9: 209–231. S2CID 238656716. डीओआइ:10.18732/hssa67.. पृष्ठ 211 पर तिथि निर्धारण की चर्चा देखें।

[3] Biggs, Norman L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. MR 0530622. डीओआइ:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

[katz-4] अ ^आ Katz, Victor J. (जून 1994). "कक्षा में नृजातीय गणित". For the Learning of Mathematics. 14 (2): 26–30. JSTOR 40248112.

[5] Sefer Yetzirah at Wikisource, Chapter IV, Section 4

[6] Rashed, Roshdi (1980). "Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson". Archive for History of Exact Sciences (फ़्रेंच में). 22 (4): 305–321. MR 0595903. S2CID 120885025. डीओआइ:10.1007/BF00717654.

[7] Acerbi, F. (2003). "On the shoulders of Hipparchus: a reappraisal of ancient Greek combinatorics". Archive for History of Exact Sciences. 57 (6): 465–502. JSTOR 41134173. MR 2004966. S2CID 122758966. डीओआइ:10.1007/s00407-003-0067-0.

[8] Katz, Victor J. (2013). "Chapter 4: Jewish combinatorics". प्रकाशित Wilson, Robin; Watkins, John J. (संपा॰). Combinatorics: Ancient & Modern. Oxford University Press. पपृ॰ 109–121. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-19-965659-2. पृष्ठ 111 देखें।

[9] Hunt, Katherine (May 2018). "The Art of Changes: Bell-Ringing, Anagrams, and the Culture of Combination in Seventeenth-Century England" (PDF). Journal of Medieval and Early Modern Studies. 48 (2): 387–412. डीओआइ:10.1215/10829636-4403136.

[10] Stedman, Fabian (1677). Campanalogia. London. पपृ॰ 6–9. The publisher is given as "W.S." who may have been William Smith, possibly acting as agent for the Society of College Youths, to which society the "Dedicatory" is addressed.

[11] Knobloch, Eberhard (2013). "Chapter 5: Renaissance combinatorics". प्रकाशित Wilson, Robin; Watkins, John J. (संपा॰). Combinatorics: Ancient & Modern. Oxford University Press. पपृ॰ 123–145. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-19-965659-2. पृष्ठ 126 देखें।

[FOOTNOTEKnobloch2013130–133-12] Knobloch 2013, पृ॰प॰ 130–133.

[exponential-series-13] अ ^आ Ebbinghaus, H.-D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1990). Numbers. Graduate Texts in Mathematics. 123. New York: Springer-Verlag. पृ॰ 131. MR 1066206. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-387-97202-1. डीओआइ:10.1007/978-1-4612-1005-4.

[14] Dutka, Jacques (1991). "The early history of the factorial function". Archive for History of Exact Sciences. 43 (3): 225–249. JSTOR 41133918. MR 1171521. S2CID 122237769. डीओआइ:10.1007/BF00389433.

[15] Dickson, Leonard E. (1919). "Chapter IX: Divisibility of factorials and multinomial coefficients". History of the Theory of Numbers. 1. Carnegie Institution of Washington. पपृ॰ 263–278. See in particular p. 263.

[cajori-16] अ ^आ Cajori, Florian (1929). "448–449. Factorial " $n$ "". A History of Mathematical Notations, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics. The Open Court Publishing Company. पपृ॰ 71–77.

[17] Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.

[craik-18] Craik, Alex D. D. (2005). "Prehistory of Faà di Bruno's formula". The American Mathematical Monthly. 112 (2): 119–130. JSTOR 30037410. MR 2121322. S2CID 45380805. डीओआइ:10.1080/00029890.2005.11920176.

[19] Arbogast, Louis François Antoine (1800). Du calcul des dérivations (फ़्रेंच में). Strasbourg: L'imprimerie de Levrault, frères. पपृ॰ 364–365.

[gkp-20] अ ^आ सन्दर्भ त्रुटि: <ref> का गलत प्रयोग; gkp नाम के संदर्भ में जानकारी नहीं है।

[hamkins-21] अ ^आ हैमकिंस, जोएल डेविड (2020). प्रमाण और गणित की कला. कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स: एमआईटी प्रेस. पृ॰ 50. MR 4205951. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-262-53979-1.

[22] Dorf, Richard C. (2003). "Factorials". CRC Handbook of Engineering Tables. CRC Press. पृ॰ 5-5. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-203-00922-2.

[23] गोल्डनबर्ग, ई. पॉल; कार्टर, सिंथिया जे. (अक्टूबर 2017). "एक छात्र (−5) के बारे में पूछता है!". The Mathematics Teacher. 111 (2): 104–110. JSTOR 10.5951/mathteacher.111.2.0104. डीओआइ:10.5951/mathteacher.111.2.0104.

[24] Haberman, Bruria; Averbuch, Haim (2002). "कंप्यूटर विज्ञान शिक्षा में नवाचार और प्रौद्योगिकी पर 7वें वार्षिक SIGCSE सम्मेलन की कार्यवाही, ITiCSE 2002, आरहूस, डेनमार्क, 24-28 जून, 2002". In Caspersen, Michael E.; Joyce, Daniel T.; Goelman, Don et al.. एसोसिएशन फॉर कंप्यूटिंग मशीनरी. p. 84–88. doi:10.1145/544414.544441.

[25] फैरेल, ओरिन जे.; रॉस, बर्ट्रम (1971). विश्लेषण में हल की गई समस्याएं: जैसा कि गामा, बीटा, लीजेंड्रे और बेसेल फ़ंक्शन पर लागू होता है. डोवर बुक्स ऑन मैथमेटिक्स. कूरियर कॉर्पोरेशन. पृ॰ 10. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-486-78308-6.

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