अनन्त समान्तर श्रेणी

गणित में अनन्त समान्तर श्रेणी एक अनन्त श्रेणी है जिसके पद समान्तार श्रेढ़ी में होते हैं। उदाहरण के लिए 1 + 1 + 1 + 1 + · · · और 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, जहाँ सार्व अन्तर क्रमशः शून्य (0) और एक (1) हैं। एक अनन्त श्रेणी के लिए व्यापक पद निम्न प्रकार लिखा जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }(an+b).$

यदि a = b = 0, तब श्रेणी का योग भी 0 ही होगा। यदि या तो a या फिर b शून्यतर (जो शून्य नहीं है) है तो श्रेणी अपसारी होगी और सामान्य रूप में अर्थहीन योग होगा।

ज़ेटा नियमितीकरण

ठीक रूप से एक समान्तर श्रेणी का ज़ेटा नियमितीकरण योग सम्बद्ध हुर्वित्ज़ ज़ेटा फलन का मान है,

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+\beta )=\zeta _{H}(-1;\beta ).$

यद्यपि ज़ेटा नियमितीकरण योग 1 + 1 + 1 + 1 + · · · से ζ_R(0) = −¹⁄₂ और 1 + 2 + 3 + 4 + · · · से ζ_R(−1) = −¹⁄₁₂ प्राप्त होता है, जहाँ ζ रीमान ज़ेटा फलन है, व्यापक रूप में उपर्युक्त व्यंजक $-{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}$ के बराबर नहीं है।

सन्दर्भ

• (वीर गडरिया) पाल बघेल धनगर
• (वीर गडरिया) पाल बघेल धनगर (arXiv preprint)
• (वीर गडरिया) पाल बघेल धनगर

ये भी देखें

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• समान्तर श्रेढ़ी