"परवलय": अवतरणों में अंतर

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गणित में, परवलय एक द्विविमीय समतलीय वक्र है जो दर्पण-सममित होता है और यह अंग्रेज़ी अक्षर U के आकार का होता है। परवलय (पैराबोला) एक द्विमीय वक्र है जिसे कई तरह से परिभाषित किया जाता है। एक परिभाषा परवलय को शांकव के एक विशेष रूप में परिभाषित करती है। इसके अनुसार, परवलय वह शांकव है जिनकी उत्केन्द्रता १ के बराबर होती है। परवलय को बिन्दुपथ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। परवलय ऐसे बिन्दुओं का बिन्दुपथ है जिसकी किसी निश्चित रेखा से दूरी, किसी निश्चित बिन्दु से दूरी के बराबर होती है। यहाँ उस रेखा को नियता (डायरेक्ट्रिक्स) एवं उस बिन्दु को नाभि (फोकस) कहते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण x² = 4ay एक परवलय को निरूपित करता है जिसकी नियता y = -a तथा नाभि (a,0) है।

नियता पर लंब रेखा, जो नाभि से गुज़रती है (यानी, रेखा जो परवलय को मध्य से विभाजित करती है) "सममित अक्ष" या "परवलय की अक्ष" कहलाती है। परवलय पर स्थित वह बिन्दु, जो अक्ष को प्रतिच्छेद करता है, अर्थात परवलय तथा परवलय की अक्ष के प्रतिच्छेदन बिन्दु को "परवलय का शीर्ष" कहा जाता है, और इसी बिंदु पर परवलय सर्वाधिक घुमावदार होता है। परवलय की अक्ष पर, नाभि तथा शीर्ष के बीच की दूरी, "नाभीय दूरी" कहलाती है। "नाभिलंब" परवलय की वह जीवा है जो नियता के समांतर (या अक्ष के लम्बवत) होती है और नाभि से होकर गुजरती है। परवलय का खुला हुआ भाग ऊपर, नीचे, बाएं, दाएं, या किसी अन्य ऐच्छिक दिशा में हो सकता है। किसी भी परवलय को किसी अन्य परवलय पर ठीक से प्रविष्ट करने के लिए पुनर्स्थापित और पुन: सहेजा जा सकता है, अर्थात सभी परवलय ज्यामितीय रूप से समान होते हैं।

बिंदुपथ के रूप में परवलय की परिभाषा

ज्यामिती में परवलय, यूक्लिड तल पर बिन्दुओं के एक बिन्दुपथ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

एक परवलय बिन्दुओं का एक बिंदुपथ है, माना किसी बिन्दु $P$ से एक निश्चित बिन्दु $F$ (नाभि) से दूरी $|PF|$ , उससे नियता $l$ तक की दूरी $|Pl|$ के बराबर होती है। आमतौर पर निम्न प्रकार दर्शाया जाता है

${\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}}$

नाभि $F$ से नियता $l$ पर डाले गए लम्ब के मध्यबिंदु $V$ को परवलय का शीर्ष कहते हैं तथा रेखा $FV$ परवलय की अक्ष है।

परवलय के प्रकार

निर्देशांक ज्यामिती में चार मूल परवलय होते हैं

दायीं ओर खुला परवलय

$y^{2}=4ax$

इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि $(a,0)$ तथा नियता $x=-a$ है।

बाईं ओर खुला परवलय

$y^{2}=-4ax$

इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि $(-a,0)$ तथा नियता $x=a$ है।

ऊपर की ओर खुला परवलय

$x^{2}=4ay$

इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि $(0,a)$ तथा नियता $y=-a$ है।

नीचे की ओर खुला परवलय

$x^{2}=-4ay$

इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि $(0,-a)$ तथा नियता $y=a$ है।

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 [[चित्र:Parts of Parabola.svg|right|thumb|196px|परवलय और उससे संबंधित पारिभाषिक शब्द]]
+गणित में, परवलय एक द्विविमीय समतलीय वक्र है जो दर्पण-सममित होता है और यह अंग्रेज़ी अक्षर U के आकार का होता है। '''परवलय''' (पैराबोला) एक द्विमीय [[वक्र]] है जिसे कई तरह से परिभाषित किया जाता है। एक परिभाषा परवलय को [[शांकव]] के एक विशेष रूप में परिभाषित करती है। इसके अनुसार, परवलय वह शांकव है जिनकी उत्केन्द्रता १ के बराबर होती है। परवलय को [[बिन्दुपथ]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।  परवलय ऐसे बिन्दुओं का [[बिन्दुपथ]] है जिसकी किसी निश्चित [[रेखा]] से दूरी, किसी निश्चित [[बिन्दु]] से दूरी के बराबर होती है। यहाँ उस रेखा को नियता (डायरेक्ट्रिक्स) एवं उस बिन्दु को नाभि (फोकस) कहते हैं।
-[[चित्र:Parabola showing focus and reflective property.png|196px|thumb|right|परवलय के परावर्तक प्रगुण को प्रदर्शित करता एक ग्राफ; नियता (हरी) और नाभि व नियता को जोड़ रेखाएं (नीली)]]
-[[गणित]] में '''परवलय''' (पैराबोला) एक द्विमीय [[वक्र]] है जिसे कई तरह से परिभाषित किया जाता है। एक परिभाषा परवलय को [[शांकव]] के एक विशेष रूप में परिभाषित करती है। इसके अनुसार, परवलय वह शांकव है जिसकी उत्केन्द्रता १ के बराबर होती है। परवलय को [[बिन्दुपथ]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।  परवलय किसी ऐसे बिन्दु का [[बिन्दुपथ]] है जिसकी किसी निश्चित [[रेखा]] से दूरी किसी निश्चित [[बिन्दु]] से दूरी के बराबर होती है। यहाँ उस रेखा को नियता (डायरेक्ट्रिक्स) एवं उस बिन्दु को नाभि (फोकस) कहते हैं।
-उदाहरण के लिए, समीकरण x<sup>2</sup>=4ay एक परवलय को निरूपित करता है जिसकी नियता '''y = -a''' तथा नाभि '''(a,0)''' है।
+उदाहरण के लिए, समीकरण x<sup>2</sup> = 4ay एक परवलय को निरूपित करता है जिसकी नियता '''y = -a''' तथा नाभि '''(a,0)''' है।
+नियता पर लंब रेखा, जो नाभि से गुज़रती है (यानी, रेखा जो परवलय को मध्य से विभाजित करती है) "सममित अक्ष" या "परवलय की अक्ष" कहलाती है। परवलय पर स्थित वह बिन्दु, जो अक्ष को प्रतिच्छेद करता है, अर्थात परवलय तथा परवलय की अक्ष के प्रतिच्छेदन बिन्दु को "परवलय का शीर्ष" कहा जाता है, और इसी बिंदु पर परवलय सर्वाधिक घुमावदार होता है। परवलय की अक्ष पर, नाभि तथा शीर्ष के बीच की दूरी, "नाभीय दूरी" कहलाती है। "नाभिलंब" परवलय की वह जीवा है जो नियता के समांतर (या अक्ष के लम्बवत) होती है और नाभि से होकर गुजरती है। परवलय का खुला हुआ भाग ऊपर, नीचे, बाएं, दाएं, या किसी अन्य ऐच्छिक दिशा में हो सकता है। किसी भी परवलय को किसी अन्य परवलय पर ठीक से प्रविष्ट करने के लिए पुनर्स्थापित और पुन: सहेजा जा सकता है, अर्थात सभी परवलय ज्यामितीय रूप से समान होते हैं।
+== बिंदुपथ के रूप में परवलय की परिभाषा ==
+ज्यामिती में परवलय, यूक्लिड तल पर बिन्दुओं के एक बिन्दुपथ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
+[[चित्र:Parabel-def-p-v.svg|अंगूठाकार|परवलय, यहाँ p, अर्द्ध नाभिलंब है।]]
+एक परवलय बिन्दुओं का एक बिंदुपथ है, माना किसी बिन्दु <math>P</math> से एक निश्चित बिन्दु <math>F</math>(नाभि) से दूरी <math>|PF|</math> , उससे नियता <math>l</math> तक की दूरी <math>|Pl|</math> के बराबर होती है। आमतौर पर निम्न प्रकार दर्शाया जाता है
+[[चित्र:Conic_Sections.svg|अंगूठाकार|परवलय (Parabola) एक शांकव है।]]
+<math>{\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}}</math>
+नाभि <math>F</math> से नियता <math>l</math> पर डाले गए लम्ब के मध्यबिंदु <math>V</math> को परवलय का शीर्ष कहते हैं तथा रेखा <math>FV</math> परवलय की अक्ष है।
+== परवलय के प्रकार ==
+निर्देशांक ज्यामिती में चार मूल परवलय होते हैं
+[[चित्र:Parabola.svg|अंगूठाकार|ऊपर की ओर खुला परवलय]]
+'''दायीं ओर खुला परवलय'''
+<math>y^2=4ax</math>
+इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि <math>(a,0)</math> तथा नियता <math>x= -a</math> है।
+'''बाईं ओर खुला परवलय'''
+<math>y^2= -4ax</math>
+इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि <math>(-a,0)</math> तथा नियता <math>x= a</math> है।
+'''ऊपर की ओर खुला परवलय'''
+<math>x^2= 4ay
+</math>
+इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि <math>(0,a)</math> तथा नियता <math>y= -a</math> है।
+'''नीचे की ओर खुला परवलय'''
+<math>x^2= -4ay</math>
+इसका शीर्ष मूलबिंदु, नाभि <math>(0,-a)</math> तथा नियता <math>y= a</math> है।
 [[श्रेणी:गणित]]
 [[श्रेणी:ज्यामिति]]