श्रोडिंगर समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में, स्क्रोडिंगर समीकरण हमे यह बतती है की किसी फिज़िकल सिस्टम की क्वेंटम अवस्था समय के अनुसार कैसे बदलती है|यह १९२५ मे तैयार तथा १९२६ मे ऑस्ट्रिया के भौतिक विज्ञानी इरविन श्रोडिंगर. द्वारा प्रकासित की गयी| क्लॅसिकल यांत्रिकी मे समेय की समीकरण (ईक्वेशन ऑफ मोशन) न्यूटन के दूसरे नियम मे, एउलेर लग्रअंजी समीकरण हमे टेम प्रारंभिक सेटिंग्स और सिस्टम के विन्यास के बारे मे बताता है| क्वांटम यांत्रिकी के मानक व्याख्या में वेवफंकशन हमे फिज़िकल स्टेट की पूर्ण जानकारी देता है |श्रोडिंगर समीकरण ना केवल परमाणु, आणविक और उपपरमाण्विक अवस्था की जानकारी देता है बल्कि मैक्रो सिस्टम (सुछ्म), सम्भवतिए पूरे ब्रह्मांड की जानकारी भी देता है|

समीकरण

समय - निर्भर समीकरण

सबसे सामान्य रूप मे समय पर निर्भर समीकरण है, जो एक समय के साथ विकसित प्रणाली का विवरण देती है | :

समय - निर्भर श्रोडिंगर समीकरण (सामान्य) $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

जहां Ψ क्वांटम प्रणाली का वेव फँगशेन है|i काल्पनिक इकाई है, ħ कम प्लैंक स्थिरांक है|${\hat {H}}$हमीलटोनियँ ऑपरेटर है|

ईक वेव फनगश्न

सबसे प्रसिद्ध उदाहरण एक गैर - रेलेटिविस्टिक श्रोडिंगर समीकरण एक कण (एलेक्ट्रिक फिलेड के लिए) के लिए (लेकिन एक चुंबकीय क्षेत्र के लिए नही)

'समय - निर्भर श्रोडिंगर समीकरण (गैर - रेलेटिविस्टिक श्रोडिंगर समीकरण एक कण (एलेक्ट्रिक फिलेड के लिए) के लिए) $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)$

श्रोडिंगर समीकरण का हल

एक बॉक्स में कण

कल्पना कीजिए की एक कमरे में एक कण बंद है | वह कण सिर्फ उस कमरे में कैद है | क्योंकि इस कण पर कोई भी बाहरी बल नहीं है, इसलिए इस कण के पास गतिज ऊर्जा (kinetic energy) है | किसी भी न्यूटोनियन कण के लिए गतिज ऊर्जा का समिकरण ${\frac {1}{2}}m{\vec {v}}.{\vec {v}}$ होता है जहाँ ${\vec {v}}$ तीन आयाम कार्तीय निर्देशांक के अनुसार वेग वेक्टर है | अगर $v_{x},v_{y},v_{z}$ इस वेग वेक्टर के घटकों को माना जाए तो गतिज ऊर्जा का समिकरण को

${\frac {1}{2}}m{\vec {v}}.{\vec {v}}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})\qquad (1)$

इन घटकों के हिसाब से भी लिखा जा सकता है | अगर समिकरण $(1)$ के दाईं ओर पर मीटर और विभाजक दोनों को $m$ से गुणा किया जाए तो

${\frac {1}{2}}{\frac {m^{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{m}}={\frac {1}{2}}{\frac {(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{m}}\qquad (2)$ जहाँ $p_{x},p_{y},p_{z}$ गति वेक्टर के, तीन आयाम कार्तीय निर्देशांक के अनुसार, घटक हैं | क्वांटम यांत्रिकी में $-i\hbar {\vec {\nabla }}$ गति ऑपरेटर है | क्योइस

बाहरी लिंक

• Quantum Physics - textbook with a treatment of the time-independent Schrödinger equation
• Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• The Schrödinger Equation in One Dimension as well as the directory of the book.
• All about 3D Schrödinger Equation
• Mathematical aspects of Schrödinger equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
• Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time dependent Schrödinger equation
• An alternate derivation of the Schrödinger Equation
• Online software-Periodic Potential Lab Solves the time independent Schrödinger equation for arbitrary periodic potentials.