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हरात्मक संख्या
H
n
,
1
{\displaystyle H_{n,1}}
n
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor }
γ
+
ln
[
x
]
{\displaystyle \gamma +\ln[x]}
गणित में, n वीं हरात्मक संख्या प्रथम n प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रम का संकलन है। सामान्यतः इसे H n से प्रदर्शित करते हैं:
H
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
.
{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
यह इन प्राकृत संख्याओं के हरात्मक माध्य के व्युत्क्रम का n गुणा भी होता है।
हरात्मक संख्याओं में अंतर्निहित तत्समक [ संपादित करें ] परिभाषानुसार हरात्मक संख्याएं पुनरावृत्ति सम्बंध को सन्तुष्ट करते हैं:
H
n
=
H
n
−
1
+
1
n
.
{\displaystyle H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}.}
वे निम्न तत्समक को भी सन्तुष्ट करते हैं
∑
k
=
1
n
H
k
=
(
n
+
1
)
H
n
−
n
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.}
ऑयलर द्वारा प्रतिपादित समाकल निरूपण
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
.
{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}
यह सरल बीजगणितीय तत्समकता का परिणाम है
1
−
x
n
1
−
x
=
1
+
x
+
⋯
+
x
n
−
1
.
{\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}
सरल समाकल सूत्र x = 1−u ,Hn के लिए चारु संचयात्मक वाक्यांश निम्न है
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
=
−
∫
1
0
1
−
(
1
−
u
)
n
u
d
u
=
∫
0
1
1
−
(
1
−
u
)
n
u
d
u
=
∫
0
1
[
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
n
k
)
u
k
−
1
]
d
u
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
n
k
)
∫
0
1
u
k
−
1
d
u
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
1
k
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}
रेट्केस तत्समकता में
x
1
=
1
,
…
,
x
n
=
n
{\displaystyle x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n}
Π
k
(
1
,
…
,
n
)
=
(
−
1
)
n
−
k
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}
H
n
=
H
n
,
1
=
∑
k
=
1
n
1
k
=
(
−
1
)
n
−
1
n
!
∑
k
=
1
n
1
k
2
Π
k
(
1
,
…
,
n
)
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
1
k
(
n
k
)
.
{\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.}
ऑर्थर टी॰ बेंजामिन, ग्रेगरी ओ॰ प्रेस्टन, जेनिफर जे॰ क्विन, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers 75 (2) pp 95–103.
डोनाल्ड नुथ . The Art of Computer Programming , Volume 1: Fundamental Algorithms , Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4 . Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp. 75–79.Ed Sandifer, How Euler Did It -- Estimating the Basel problem
एरिक डब्ल्यू वेइसटीन , मैथवर्ल्ड पर हरात्मक संख्या Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities
Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers The Electronic Journal of Combinatorics , 11 , #N15.
Ayhan Dil and Istvan Mezo, A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers 206 , 942—951.
Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality ", Acta Sci. Math. (Szeged) 
![{\displaystyle \gamma +\ln[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16fb50fd16271d045dcb8cb474494fe53c9ca26)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c984285566e47364b98a6e2e38e75ecdeb0709e)
