समूह सिद्धांत

समूह सिद्धांत
मूलभुत धारणा सामिसमूह प्रसामान्य सामिसमूह भाजक समूह (Semi-)क्रमागत गुणा साँचा:Sidebar subsection
परिमित समूह साँचा:Longlink चक्रिय समूह Z/n सममित समूह Sn द्वितल समूह Dn परिवर्ती समूह An Baby Monster group (B) Monster group (M)
विविक्त समूह जालक पूर्णांक (Z) जालक साँचा:Longlink
सांस्थितिकीय / ली समूह परिनालिका वृत सामान्य रैखिक GL(n) विशिष्ट रैखिक SL(n) लम्बवत O(n) यूक्लिडीय E(n) विशिष्ट लम्बवत SO(n) ऐकिक U(n) विशिष्ट ऐकिक SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 लोरेन्ज Poincaré रूपांतरण Diffeomorphism लूप साँचा:Longlink
बीजगणितीय समूह दीर्घवृतीय वक्र रैखिक Abelian variety

कभी-कभी गणित में ऐसी क्रियाएँ भी दृष्टिगोचर होती है जब उनमें से एक एक करके दो क्रियाएँ की जाएँ तो फल वही निकलता है, जो उसी प्रकार की एक ही क्रिया से निकल आता है। तनिक इन चार संख्याओं पर विचार करें :

$1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}$$1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}$

जिन्हें इस प्रकार भी लिख सकते हैं :

$1,-1,a,-a$$1,-1,a,-a$

यदि किसी राशि को इनमें से दूसरी और तीसरी संख्याओं से गुणा करें, तो वही फल निकलेगा तो जो अकेल चौथी संख्या से गुणा करने से निकलता है। इसी प्रकार, यदि उपर्युक्त संख्याओं में से किन्हीं दो से किसी राशि को गुणा करें, तो वही फल निकलता है जो उक्त संख्याओं में से एक ही संख्या से गुणा करने से निकल सकता है।

इस प्रकार की क्रियाओं के समुच्चय को बंद समुच्चय कहते हैं और क्रियाओं के इस गुण को समूह गुण कहते हैं।