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संचालन क्रम

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संचालन का क्रम

गणित और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, संचालन का क्रम (अंग्रेज़ी: Order of operations) उन नियमों का एक समूह होता है जो यह निर्धारित करता है कि किसी गणितीय अभिव्यक्ति का मूल्य निकालने के लिए किस क्रम में संचालनों (क्रियाओं) को सम्पन्न किया जाना चाहिए।

इन नियमों को संचालनों की एक श्रेणीक्रम प्रणाली द्वारा औपचारिक रूप प्रदान किया गया है। किसी संचालन की श्रेणी को उसकी प्राथमिकता कहा जाता है, और उच्च प्राथमिकता वाला संचालन, निम्न प्राथमिकता वाले संचालन से पहले किया जाता है। सामान्यतः, गणक (कैलकुलेटर) समान प्राथमिकता वाले संचालनों को बाएँ से दाएँ क्रम में निष्पादित करते हैं, किन्तु कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएँ एवं गणक भिन्न-भिन्न परंपराओं का अनुसरण करते हैं।[1]

उदाहरण के लिए, गुणा को योग से उच्च प्राथमिकता प्रदान की जाती है, और आधुनिक बीजगणितीय संकेतन के प्रारंभ से ही यह परंपरा प्रचलित रही है। अतः, अभिव्यक्ति 1 + 2 × 3 में पहले गुणा की क्रिया की जाती है, जिससे इसका मान होता है 1 + (2 × 3) = 7, न कि (1 + 2) × 3 = 9।

सोलहवीं तथा सत्रहवीं शताब्दियों में जब घातांक का प्रयोग प्रारंभ हुआ, तब उसे योग और गुणा दोनों से उच्च प्राथमिकता प्रदान की गई तथा उसे उसके आधार (आधार संख्या) के दाएँ ऊर्ध्वाधर रूप में लिखा गया।

अतः 3 + 5² = 28 तथा 3 × 5² = 75 होता है।

ये परंपराएँ संकेतन की अस्पष्टता से बचने के लिए बनाई गई हैं, जिससे गणितीय लेखन संक्षिप्त रहते हुए भी स्पष्ट बना रहे।

जब इन प्राथमिकता परंपराओं को अनदेखा करना आवश्यक हो, अथवा केवल उन्हें विशेष रूप से रेखांकित करना हो, तब कोष्ठकों ( ) का प्रयोग किया जाता है।

उदाहरणस्वरूप, (2 + 3) × 4 = 20 में योग की क्रिया को गुणा से पहले करने के लिए बाध्य किया गया है, जबकि (3 + 5)² = 64 में योग को घातांक से पहले किया गया है।

यदि किसी गणितीय अभिव्यक्ति में एकाधिक कोष्ठकों की आवश्यकता हो (जैसे कि अंतःस्थ कोष्ठकों के प्रयोग में), तो भ्रम से बचने के लिए अन्य प्रकार के कोष्ठकों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि [2 × (3 + 4)] − 5 = 9।

ये नियम तभी सार्थक होते हैं जब सामान्य संकेतन (जिसे इन्फिक्स संकेतन कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है। जब सभी संक्रियाओं के लिए कार्यात्मक या पोलिश संकेतन का उपयोग किया जाता है, तो संक्रियाओं का क्रम संकेतन से ही निकलता है।

पारंपरिक आदेश

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संचालन का क्रम, अर्थात वह क्रम जिसमें एक अभिव्यक्ति में संचालन आमतौर पर किया जाता है, पूरे गणित, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और कई कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं में अपनाई गई परंपरा का परिणाम है। इसे संक्षेप में इस प्रकार प्रस्तुत किया गया हैः [2][3]

  1. कोष्ठक
  2. घातांक
  3. गुणा और विभाजन
  4. जोड़ और घटाव

इसका मतलब है कि एक अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने के लिए, पहले कोष्ठक के अंदर किसी भी उप-अभिव्यक्ति का मूल्यांकन किया जाता है, अगर एक से अधिक समूह हैं तो अंदर से बाहर काम करते हुए। कोष्ठक के अंदर हो या न हो, उपरोक्त सूची में जो ऑपरेशन अधिक है, उसे पहले लागू किया जाना चाहिए। समान वरीयता के संचालन का पारंपरिक रूप से बाएं से दाएं मूल्यांकन किया जाता है।

यदि प्रत्येक विभाजन को उसके व्युत्क्रमानुपाती (गुणात्मक प्रतिलोम) से गुणा करने के रूप में प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो गुणा की सामासिक तथा पारस्परिक विधियों के अनुसार प्रत्येक पद के घटकों को किसी भी क्रम में गुणा किया जा सकता है।

कभी-कभी गुणा और विभाजन को समान प्राथमिकता दी जाती है, अथवा कभी-कभी गुणा को विभाजन की तुलना में उच्च प्राथमिकता प्रदान की जाती है।

यदि प्रत्येक घटाव को उसके विपरीत पद (योगात्मक प्रतिलोम) को जोड़ने के रूप में प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो योग की सामासिक तथा पारस्परिक विधियों के अनुसार पदों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

मूल चिन्ह (√) परंपरागत रूप से रैडिकेंड (जिस संख्या का वर्गमूल या अन्य मूल निकाला जाता है) के ऊपर एक रेखा (जिसे 'विनकुलम' कहा जाता है) द्वारा विस्तारित किया जाता है; यह रेखा कोष्ठकों की आवश्यकता को समाप्त करती है।

अन्य फलनों (फंक्शनों) में, इनपुट में अस्पष्टता से बचने के लिए प्रायः कोष्ठकों का प्रयोग किया जाता है।

यदि इनपुट कोई एकल संख्यात्मक चर या स्थिरांक हो, तो कोष्ठकों को छोड़ भी दिया जाता है; जैसे कि sinx=sin(x) तथा sinπ=sin(π)।

परंपरागत रूप से यह परंपरा एकघातकों पर भी लागू होती है; अतः sin3x=sin(3x), और यहाँ तक कि sinsinx भी मान्य है। परंतु sinx+y=sin(x)+y, क्योंकि x+y एक एकघातक नहीं है।

हालाँकि, यह परंपरा सर्वत्र स्वीकृत नहीं है, और कुछ लेखक स्पष्ट रूप से कोष्ठकों का प्रयोग करना पसंद करते हैं।

कुछ गणक (कैलकुलेटर) तथा संगणक भाषाएँ फलनों के इनपुट के चारों ओर कोष्ठकों की आवश्यकता रखती हैं, जबकि कुछ में यह अनिवार्य नहीं होता।

कोष्ठक और समूह के वैकल्पिक प्रतीकों का उपयोग संचालन के सामान्य क्रम को ओवरराइड करने या इच्छित क्रम को स्पष्ट बनाने के लिए किया जा सकता है। समूहीकृत प्रतीकों को एकल अभिव्यक्ति के रूप में माना जा सकता है।[2]

उदाहरण

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जोड़ से पहले गुणा

माता-पिता की उप-अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन पहले किया जाता हैः

गुणा से पहले घातांक, घटाव से पहले गुणनः

जब कोई गणितीय अभिव्यक्ति ऊर्ध्वलेख (superscript) के रूप में लिखी जाती है, तब उसे उसके आधार के ऊपर स्थित होने के कारण उसी आधार के साथ समूहीकृत (सम्बद्ध) माना जाता है।

मूल प्रतीक का संचालन ओवरबार द्वारा निर्धारित किया जाता हैः

एक क्षैतिज भिन्नात्मक रेखा दो समूहीकृत उप-अभिव्यक्तियों का निर्माण करती है, एक ऊपर से दूसरे से विभाजित नीचेः

कोष्ठक को घोंसला बनाया जा सकता है, और इसका मूल्यांकन अंदर से बाहर की ओर किया जाना चाहिए। सुपाठ्यता के लिए, बाहरी कोष्ठक को आंतरिक कोष्ठक से बड़ा बनाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, अन्य समूह चिह्न, जैसे घुंघराले कोष्ठक {} या वर्ग कोष्ठक [], कभी-कभी कोष्ठक (′) के साथ उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए,

यह भी देखें

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  • सामान्य प्रचालक संकेतन (अधिक औपचारिक विवरण के लिए)
  • अति-क्रियाशीलता
  • प्राथमिकता का तार्किक connective#Order
  • प्रचालक सहयोगात्मकता
  • प्रचालक ओवरलोडिंग
  • सी और सी + + में प्रचालक वरीयता
  • पोलिश संकेतन
  • रिवर्स पोलिश संकेतन

नोट्स

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संदर्भ

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  1. ↑ "Calculation operators and precedence: Excel". Microsoft Support. Microsoft. 2023. अभिगमन तिथि: 2023-09-17.
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    "Several commenters appear to be using a different (and more sophisticated) convention than the elementary PEMDAS convention I described in the article. In this more sophisticated convention, which is often used in algebra, implicit multiplication (also known as multiplication by juxtaposition) is given higher priority than explicit multiplication or explicit division (in which one explicitly writes operators like × * / or ÷). Under this more sophisticated convention, the implicit multiplication in 2(2 + 2) is given higher priority than the explicit division implied by the use of ÷. That’s a very reasonable convention, and I agree that the answer is 1 if we are using this sophisticated convention.
    "But that convention is not universal. For example, the calculators built into Google and WolframAlpha use the less sophisticated convention that I described in the article; they make no distinction between implicit and explicit multiplication when they are asked to evaluate simple arithmetic expressions. [...]"
  43. Swokowski, Earl William (1978). Fundamentals of Algebra and Trigonometry (4 ed.). Boston: Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 0-87150-252-6. p. 1: The language of algebra [...] may be used as shorthand, to abbreviate and simplify long or complicated statements.
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  46. "Implied Multiplication Versus Explicit Multiplication on TI Graphing Calculators". Texas Instruments. 2011. अभिगमन तिथि: 2015-08-24.
  47. Vanderbeek, Greg (2007). Order of Operations and RPN (Expository paper). Master of Arts in Teaching (MAT) Exam Expository Papers. Lincoln: University of Nebraska. Paper 46. अभिगमन तिथि: 2020-06-14.
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आगे पढ़ें

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बाहरी लिंक

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