षट्दशमलव
षट्दशमलव (अंग्रेज़ी: Sexagesimal), जिसे आधार ६० के रूप में भी जाना जाता है, एक ऐसी संख्या प्रणाली है जिसका आधार साठ है। इसकी शुरुआत प्राचीन सुमेरियाई लोगों ने तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में की थी, यह प्राचीन कसदीयों तक पहुँची और समय, कोणों और भौगोलिक निर्देशांकों को मापने के लिए एक संशोधित रूप में आज भी इसका उपयोग किया जाता है।
संख्या ६०, एक उच्चतम संयुक्त संख्या (सुपीरियर हाइली कम्पोजिट नंबर) है, के बारह भाजक हैं, जो कि १, २, ३, ४, ५, ६, १०, १२, १५, २०, ३०, और ६० हैं, जिनमें से २, ३, और ५ अभाज्य संख्याएँ हैं। इतने सारे गुणनखंड होने के कारण, षट्दशमलव संख्याओं वाले अनेक भिन्न सरल हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक घंटे को समान रूप से ३० मिनट, २० मिनट, १५ मिनट, १२ मिनट, १० मिनट, ६ मिनट, ५ मिनट, ४ मिनट, ३ मिनट, २ मिनट और १ मिनट के खंडों में बाँटा जा सकता है। ६० सबसे छोटी संख्या है जो १ से ६ तक की हर संख्या से विभाज्य है; अर्थात, यह १, २, ३, ४, ५, और ६ का लघुत्तम समापवर्त्य है।
इस लेख में, सभी षट्दशमलव अंकों को दशमलव संख्याओं के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ अन्यथा उल्लेख नहीं किया गया है। उदाहरण के लिए, सबसे बड़ा षट्दशमलव अंक "५९" है।
उत्पत्ति
[संपादित करें]ओटो न्यूगेबाउर के अनुसार, षट्दशमलव की उत्पत्ति इतनी सरल, सुसंगत या समय में एकल नहीं है जैसा कि अक्सर चित्रित किया जाता है। अपने उपयोग की कई शताब्दियों के दौरान, जो आज विशिष्ट विषयों जैसे समय, कोणों और खगोलीय निर्देशांक प्रणालियों के लिए जारी है, षट्दशमलव संकेतनों में हमेशा दशमलव संकेतन की एक मजबूत अंतर्धारा रही है, जैसे कि षट्दशमलव अंक कैसे लिखे जाते हैं। इनके उपयोग में हमेशा (और आज भी शामिल है) विभिन्न आधारों का उपयोग संख्याओं को दर्शाने के लिए कहाँ और कैसे किया जाता है, इसमें असंगतियाँ भी शामिल रही हैं, यहाँ तक कि एक ही पाठ के भीतर भी।[1]
षट्दशमलव के कठोर, पूर्णतः स्व-सुसंगत उपयोग के लिए सबसे शक्तिशाली प्रेरक हमेशा भिन्नों को लिखने और गणना करने के लिए इसके गणितीय लाभ रहे हैं। प्राचीन ग्रंथों में यह इस तथ्य में प्रकट होता है कि षट्दशमलव का उपयोग डेटा की गणितीय तालिकाओं में सबसे एकसमान और सुसंगत रूप से किया गया है। एक और व्यावहारिक कारक जिसने अतीत में षट्दशमलव के उपयोग का विस्तार करने में मदद की, भले ही गणितीय तालिकाओं की तुलना में कम सुसंगत रूप से, व्यापारियों और खरीदारों के लिए इसके स्पष्ट लाभ थे जब वे अधिक मात्रा में सामानों की सौदेबाजी और बँटवारे में शामिल होते थे तो रोजमर्रा के वित्तीय लेन-देन को आसान बनाते थे। तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के उत्तरार्ध में, सुमेरियाई/अक्कादियाई इकाइयों में वजन की इकाई कक्कारू (टैलेंट, लगभग ३० किग्रा) शामिल थी, जिसे ६० मनु (मीना) में विभाजित किया गया था, जिसे आगे ६० शिक्लु (शेकेल) में उप-विभाजित किया गया था; इन इकाइयों के वंशज हज़ारों सालों तक बने रहे, हालाँकि यूनानियों ने बाद में इस रिश्ते को एक अधिक आधार-१०-अनुकूल अनुपात में मजबूर कर दिया कि एक शेकेल एक मीना का ५०वाँ हिस्सा हो।
गणितीय तालिकाओं के अतिरिक्त, अधिकांश ग्रंथों के भीतर संख्याओं को कैसे दर्शाया गया, इसकी असंगतियाँ सबसे बुनियादी कीलाक्षर प्रतीकों तक विस्तृत हैं, जिनका उपयोग संख्यात्मक मात्राओं को दर्शाने के लिए किया जाता था।[2] उदाहरण के लिए, १ के लिए कीलाक्षर प्रतीक एक दीर्घवृत्त था, जो लेखन छड़ के गोल सिरे को मिट्टी पर एक कोण पर लगाकर बनाया जाता था, जबकि ६० के लिए षट्दशमलव प्रतीक एक बड़ा अंडाकार या "बड़ा १" था। लेकिन उन्हीं ग्रंथों के भीतर, जिनमें इन प्रतीकों का उपयोग किया गया था, संख्या १० को एक वृत्त के रूप में दर्शाया गया था, जो लेखन छड़ के गोल सिरे को मिट्टी पर लंबवत लगाकर बनाया जाता था, और एक बड़े वृत्त या "बड़ा १०" का उपयोग १०० को दर्शाने के लिए किया जाता था। ऐसे बहु-आधार वाले संख्यात्मक मात्रा प्रतीकों को एक-दूसरे के साथ और संक्षिप्त रूपों के साथ मिलाया जा सकता था, यहाँ तक कि एक ही संख्या के भीतर भी। विवरण और यहाँ तक कि निहित परिमाण (क्योंकि शून्य का उपयोग निरंतर नहीं किया गया था) विशिष्ट समय अवधियों, संस्कृतियों, और मात्राओं या अवधारणाओं के लिए स्वतंत्र रूप से प्रयुक्त प्रचलित तरीके (रूढ़िबद्ध) थे। आधुनिक काल में षट्दशमलव खगोलीय निर्देशांकों में दशमलव भिन्न जोड़ने का हाल का नवाचार है।[1]
उपयोग
[संपादित करें]प्राचीन बेबीलोनियाई गणित
[संपादित करें]प्राचीन मेसोपोटामिया में प्रयुक्त षट्दशमलव प्रणाली एक पूर्णतः आधार-६० प्रणाली नहीं थी, इस अर्थ में कि इसमें अंकों के लिए ६० भिन्न प्रतीकों का उपयोग नहीं किया गया था। इसके स्थान पर, कीलाक्षर अंक ने दस को एक उप-आधार के रूप में एक चिह्न-मूल मान लेखन प्रणाली की शैली में अपनाया था: एक षट्दशमलव अंक उन संकीर्ण, कील के आकार के चिह्नों के समूह से बना होता था जो १ से ९ तक की इकाइयों को दर्शाते थे (
, 
, 
, 
, ..., 
), तथा एक अन्य समूह जिसमें चौड़े, कील के आकार के चिह्न होते थे जो १० से ५० तक (हर १० पर) दहाइयों को दर्शाते थे (
, 
, 
, 
, 
)।
५९ से बड़ी संख्याओं को स्थानिक मान प्रणाली के अंतर्गत ऐसे कई प्रतीक-समूहों के माध्यम से दर्शाया जाता था। चूँकि उस समय शून्य के लिए कोई प्रतीक नहीं था, इसलिए यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता था कि किसी अंक का वास्तविक मूल्य क्या है, और इसकी सही व्याख्या अक्सर प्रसंग पर निर्भर करती थी। उदाहरण के लिए, १ और ६० के लिए प्रयुक्त प्रतीक एकसमान होते थे।[3][4]
बाद के बेबीलोनियाई ग्रंथों में, शून्य को दर्शाने के लिए एक स्थानधारक प्रतीक (
) का प्रयोग किया जाने लगा, परंतु केवल बीच के स्थानों में, न कि अंकों की दाहिनी ओर, जैसे कि संख्या १३२०० में अपेक्षित होता।[5]
यह भी देखें
[संपादित करें]संदर्भ
[संपादित करें]- 1 2 Neugebauer, O. (1969), "The Exact Sciences In Antiquity", Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium, vol. 9, Dover, pp. 17–19, ISBN 0-486-22332-9, पीएमआईडी 14884919
- ↑ Neugebauer, O. (1969), "The Exact Sciences In Antiquity", Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium, 9, Dover: 17–19, ISBN 0-486-22332-9, पीएमआईडी 14884919
- ↑ Bello, Ignacio; Britton, Jack R.; Kaul, Anton (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9th ed.), Cengage Learning, p. 182, ISBN 9780538737791.
- ↑ Lamb, Evelyn (August 31, 2014), "Look, Ma, No Zero!", Scientific American, Roots of Unity
- ↑ Lamb, Evelyn (August 31, 2014), "Look, Ma, No Zero!", Scientific American, Roots of Unity