शीर्षलम्ब (त्रिभुज)

त्रिभुज के तीन शीर्षलम्ब लम्बकेन्द्र पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो एक न्यूनकोण त्रिभुज हेतु त्रिभुज के भीतर होता है।

भूमिति में, एक त्रिभुज का शीर्षलम्ब एक शीर्ष से होकर जाने वाला एक रेखा खण्ड होता है और आधार रेखा (शीर्ष के विपरीत भुजा) के लम्बवत् होता है । विपरीत भुजा वाली इस रेखा को शीर्षलम्ब का विस्तारित आधार कहा जाता है। विस्तारित आधार और शीर्षलम्ब के प्रतिच्छेदन को शीर्षलम्बपाद कहा जाता है।

शीर्षलम्ब का प्रयोग त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना में किया जा सकता है: त्रिभुज का क्षेत्रफल, शीर्षलम्ब की दैर्घ्य और उसके आधार की दैर्घ्य के गुणनफल के अर्ध के समान होता है। इस प्रकार, सबसे लम्बी शीर्षलम्ब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा के लम्बवत् होती है। शीर्षलम्ब त्रिकोणमितीय फलनों के माध्यम से त्रिभुज की भुजाओं से सम्बन्धित हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार के रूप में असर्वांगसम भुजा वाली शीर्षलम्ब के आधार के रूप में उस भुजा का मध्यबिन्दु होगा। इसके अतिरिक्त आधार के रूप में असर्वांगसम भुजा वाली शीर्षलम्ब शीर्षकोण का कोण समद्विभाजक होगा।

एक समकोण त्रिभुज में समकोण से कर्ण तक खींचा गया शीर्षलम्ब, कर्ण के विभाजित खण्डों की दैर्घ्यों का गुणोत्तर माध्य है। :${\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}$

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण c पर खींची गई शीर्षलम्ब, कर्ण को दैर्घ्यों p और q के दो खण्डों में विभाजित करती है। यदि शीर्षलम्ब की दैर्घ्य को h_c से निरूपित करते हैं, तो:

$h_{c}={\sqrt {pq}}$  (गुणोत्तर माध्य प्रमेय)

लम्बकेन्द्र

अधिक कोण वाले त्रिभुज के प्रत्येक न्यून कोण से शीर्षलम्ब तथा लम्बकेन्द्र H त्रिभुज के पूर्णतः बाहर स्थित होते हैं।

तीन (संभवत: विस्तारित) शीर्षलम्ब एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे त्रिभुज का लम्बकेन्द्र कहा जाता है, जिसे प्रायः H द्वारा दर्शाया जाता है। लम्बकेन्द्र त्रिभुज के भीतर स्थित होता है यदि और केवल यदि त्रिभुज न्यून है। यदि एक कोण समकोण है, तो लम्बकेन्द्र समकोण पर शीर्ष के साथ मेल खाता है।