वैश्‍लेषिक फलन

गणित में वैश्‍लेषिक फलन (analytic function) वह फलन कहलाता है जिसे अभिसारी बहुघात श्रेणी में बदला जा सके। वास्तविक व समिश्र दोनों तरह के वैश्‍लेषिक फलन पाये जाते हैं जिनके जिनकी श्रेणियाँ कुछ समानता व कुछ भिन्नता के साथ होती हैं।

परिभाषा

सामान्यतः, एक फलन ƒ वास्तविक संख्या रेखा पर खुले समुच्चय D में वास्तविक विश्लेषणात्मक होगा यदि D में सभी x₀ के लिए

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\\&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots \end{aligned}}$

जहाँ गुणक a₀, a₁, ... आदि वास्तविक संख्याएं हैं और श्रेणी ƒ(x) पर x के लिए x₀ के परिवेश में अभिसारी है।

उदाहरण

e^x एक वैश्लेषिक फलन है। इसी तरह sin x, cos x, tan x आधि स्भी त्रिकोणमितीय फलन भी वैश्लेषिक हैं। बहुघात फलन (वास्तविक अथवा समिश्र) वैश्‍लेषिक फलन का उदाहरण है।

वैश्‍लेषिक फलन के गुणधर्म

• वैश्‍लेषिक फलन अनन्त अवकलनीय (infinitely differentiable) होते हैं।

ये भी देखें

• कोशी रीमान समीकरण
• होलोमार्फिक फलन
• आविश्लेषिक फलन