विश्लेषणात्मक फलन

गणित में विश्लेषणात्मक फलन वह फलन कहलाता है जिसे अभिसारी बहुघात श्रेणी में बदला जा सके। वास्तविक व समिश्र दोनों तरह के विश्लेषणात्मक फलन पाये जाते हैं जिनके जिनकी श्रेणियाँ कुछ समानता व कुछ भिन्नता के साथ होती हैं।

परिभाषा

सामान्यतः, एक फलन ƒ वास्तविक संख्या रेखा पर खुले समुच्चय D में वास्तविक विश्लेषणात्मक होगा यदि D में सभी x₀ के लिए

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\\&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots \end{aligned}}$${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\\&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots \end{aligned}}$

जहाँ गुणक a₀, a₁, ... आदि वास्तविक संख्याएं हैं और श्रेणी ƒ(x) पर x के लिए x₀ के परिवेश में अभिसारी है।

उदाहरण

बहुघात समीकरण (वास्तविक अथवा समिश्र) विश्लेषणात्मक फलन का उदाहरण है।

ये भी देखें

• कोशी रीमान समीकरण
• होलोमार्फिक फलन
• आविश्लेषिक फलन