"पूर्ण वर्ग बनाना": अवतरणों में अंतर
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== उदाहरण == |
== उदाहरण == |
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:<math>\begin{align}5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\ |
:<math display="block"> |
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\begin{align} |
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5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\ |
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&{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^ |
&{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^2\right) - 6 - 5\left({7 \over 10}\right)^2 \\ |
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&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10} \ - {169 \over 20}. |
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10} \ - {169 \over 20}. |
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\end{align} |
\end{align} |
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</math> |
</math> |
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== सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला) == |
== सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला) == |
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यदि '''a''' धनात्मक हो तो, |
यदि '''a''' धनात्मक हो तो, |
07:10, 20 अगस्त 2021 के समय का अवतरण
आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद को के रूप में बदलने को पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square) कहते हैं। यहाँ h तथा k का मान x से स्वतंत्र है। नीचे पूर्ण वर्ग बनाने के कुछ उदाहरण दिये हैं-
उपयोग[संपादित करें]
गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-
- वर्ग समीकरण के हल में
- द्विघात बहुपदों के अधिकतम और न्यूनतम मान निकालने के लिये
- द्विपद फलनों के आरेखण (graphing) में
- कैलकुलस में समाकल (integral) निकालने में
- लाप्लास रूपान्तर (finding [[Laplace transforms) प्राप्त करने में
उदाहरण[संपादित करें]
सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला)[संपादित करें]
यदि a धनात्मक हो तो,
जहाँ,
अर्थात् -
पूर्ण वर्ग बनाकर वर्ग समीकरण का हल[संपादित करें]
सबसे पहला चरण है - पूर्ण वर्ग बनाना,
इसके बाद दो-घात वाले पद का मान प्राप्त करते हैं,
इससे स्पष्ट है कि,
अतः
यह विधि किसी भी वर्ग समीकरण के लिये लगायी जा सकती है। जब x2 का गुणांक 1 के बजाय कुछ और हो तो सबसे पहले पूरे समीकरण को इस गुणांक से विभाजित कर देना चाहिये और उसके बाद उपरोक्त रीति से आगे बढ़ना चाहिये।
पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन[संपादित करें]
निम्नलिखित समाकलन की गणना करने के लिये,
पूर्ण वर्ग बनाने पर,
अतः
क्योंकि,