"लघुगणक" के अवतरणों में अंतर

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==परिभाषा==
[[गणित]] में किसी दिए हुए आधार पर किसी संख्या का '''लघुगणक''' वह संख्या होती है जिसको उस आधार के उपरऊपर [[घात (गणित)|घात]] लगाने से उसका मान दी हुई संख्या के बराबर हो जाय। उदाहरण के लिये, १० आधार पर १००००० (एक लाख) का लघुगणक ५ होगा क्योंकि आधार १० पर ५ घात लगाने से उसका मान १००००० हो जाता है।
 
अर्थात किसी संख्या ''x'', आधार ''b'' और घातांक ''n'', के लिये
 
== लघुगणकों के गुण ==
जब ''x'' और ''b'' दोनो धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ हों तो, log<sub>''b''</sub>(''x'') का मान एक अद्वितीय वास्तविक संख्या होती है। आधार ''b'' का [[निरपेक्ष मान]] 0 या 1 को छोड़कर कुछ भी हो सकता है। आधार के रूप में प्रायः 10, e या 2 को लिया जाता है जिनके अपने-अपने उपयोग-क्षेत्र हैं। वास्तविक संख्याओं तथा [[समिश्र संख्या]]ओं के लघुगणक पारिभाषित हैं।
 
निम्नलिखित परिणाम लघुगणक की परिभाषा से सीधे ही आ जाते हैं-
 
== पूर्णांश (Characteristic) और अपूर्णांश (Mantissa) ==
यदि किसी संख्या के लघुगणक के [[पूर्णांक]] भाग को पूर्णाश और दशमलव भाग को अपूर्णांश कहते हैं। उदाहरण के लिये log<sub>10</sub>(4576) = 3.66048 होता है। 3.66048 में 3 पूर्णांश और 0.66048 अपूर्णांश है।
 
किसी संख्या के लघुगणक का '''पूर्णांश ज्ञात करने का नियम''' निम्नलिखित है :
 
*(1) जिस धनात्मक संख्या (>1) के पूर्णांक भाग में म+1 अंक हो, उस संख्या के लघुगणक का पूर्णांश म होता है। जैसे २४५ के लघुगणक का पूर्णांश २ होगा क्योंकि २४५ में (२+१) अंक हैं। इसी प्रकार २४५.६७ का पूर्णांश भी २ ही होगा क्योंकि २४५.६७ के पूर्ण भाग में (२+१) अंक ही हैं।
 
*(2) जिस धनात्मक संख्या (<1) में दशमलव बिंदु के बाद '''म''' शून्य के बाद कोई अशून्य अंक आता हो, उसके लघुगणक का पूर्णांश - (म+1) होता है। जैसे 0.0034 में दशमलव के बाद दो शून्य आने के बाद ही अशून्य अंक (३) आ रहा है; इसलिये इसका पूर्णांश = -(२+१) = -३ (ऋण तीन) होगा।
 
'''अपूर्णांश ज्ञात करने का नियम''' निम्नलिखित हैं :
 
अपूर्णांश संख्या के मान और उसमें व्यवहृत अंकों के क्रम पर निर्भर करता है। यदि दो संख्याओं में एक ही प्रकार के अंक एक ही क्रम में व्यवहृत हों और केवल दशमलव बिंदु का स्थान भिन्न हो, तो उन संख्याओं के अपूर्णांश एक ही होंगे, क्योंकि अपूर्णांश संख्या में दशमलव बिंदु के स्थान पर निर्भर नहीं होता है। उदाहरण के लिये ४५३८ और ४५.३८ दोनो के अपूर्णांश समान होंगे यद्यपि दोनो के अपूर्णांश अलग-अलग (क्रमशः ३ तथा १) होंगे।
 
== इतिहास ==
किन्तु संगणन में यह अधिक लाभप्रद नहीं है। 1695 ई. में जॉन वालिस ने निम्नलिखित अनन्त श्रेणी का प्रयोग किया :
 
: (1/2) Log ((1+x) / (1-x)) = x + x<sup>3</sup> / 3 + x<sup>5</sup> / 5 + ...
 
इस श्रेणी की अभिसृति (कन्वर्जेन्स) शीघ्रतर है। 1794 ई. में जी.एफ. भेगा द्वारा लिखित थिसॉरस (Thesaurus) में x = (2y<sup>2</sup>-1)<sup>-1−1</sup> मानकर श्रेणी की अभिसृति अधिक शीघ्रतर कर दी गई है।
 
साधारणत: सारणी के उपयोग में अनुपाती अंशसिद्धांत की सहायता ली जाती है।
 
* [[रसायन विज्ञान]] में हाइड्रोजन ऑयन के सान्द्रण के व्युत्क्रम के साधारण लघुगणक (H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>, the form H<sup>+</sup> takes in water) को [[पीएच]] (pH) कहा जाता है। 25&nbsp;°C पर शुद्ध [[जल]] में हाइड्रोजन आयनों का सांद्रण 10<sup>−7</sup> मोल/लीटर होता है; अतः शुद्ध जल का pH = 7.
 
* The ''bel'' (symbol B) is a [[Units of measurement|unit]] of measure which is the base-10 logarithm of [[ratio]]s, such as [[power (physics)|power]] levels and [[voltage]] levels. It is mostly used in [[telecommunication]], [[electronics]], and [[acoustics]]. The Bel is named after telecommunications pioneer [[Alexander Graham Bell]]. The ''[[decibel]]'' (dB), equal to 0.1&nbsp;bel, is more commonly used. The ''[[neper]]'' is a similar unit which uses the natural logarithm of a ratio.
 
* The [[Richter magnitude scale|Richter scale]] measures [[earthquake]] intensity on a base-10 logarithmic scale.
 
* In [[spectrometry]] and [[optics]], the absorbance unit used to measure [[optical density]] is equivalent to −1&nbsp;B.
 
* In [[astronomy]], the [[apparent magnitude]] measures the brightness of [[star]]s logarithmically, since the eye also responds logarithmically to brightness.
 
* In [[psychophysics]], the [[Weber–Fechner law]] proposes a logarithmic relationship between stimulus and sensation.
 
* In [[computer science]], logarithms often appear in bounds for [[computational complexity]]. For example, to [[comparison sort|sort]] ''N'' items using comparison can require time proportional to the product ''N''&nbsp;×&nbsp;log&nbsp;''N''. Similarly, base-2 logarithms are used to express the amount of storage space or memory required for a binary representation of a number—with ''k'' bits (each a 0 or a 1) one can represent 2<sup>''k''</sup> distinct values, so any [[natural number]] ''N'' can be represented in no more than (log<sub>2</sub> ''N'') + 1 bits.
 
* Similarly, in [[information theory]] logarithms are used as a measure of quantity of information. If a message recipient may expect any one of ''N'' possible messages with equal likelihood, then the amount of information conveyed by any one such message is quantified as log<sub>2</sub> ''N'' [[bit]]s.
 
* In [[geometry]] the logarithm is used to form the [[metric space|metric]] for the [[hyperbolic motion#Elementary half-plane geometry|half-plane model]] of [[hyperbolic geometry]].
 
* Many types of engineering and scientific data are typically graphed on [[log-log]] or [[semilog]] axes, in order to most clearly show the form of the data.
 
* [[Interval (music)|Musical intervals]] are measured logarithmically as [[semitone]]s. The interval between two notes in semitones is the base-2<sup>1/12</sup> logarithm of the frequency ratio (or equivalently, 12 times the base-2 logarithm). Fractional semitones are used for non-equal temperaments. Especially to measure deviations from the equal tempered scale, intervals are also expressed in [[cent (music)|cents]] (hundredths of an equally-tempered [[semitone]]). The interval between two notes in cents is the base-2<sup>1/1200</sup> logarithm of the frequency ratio (or 1200 times the base-2 logarithm). In [[MIDI]], notes are numbered on the semitone scale (logarithmic absolute nominal pitch with middle C at 60). For microtuning to other tuning systems, a logarithmic scale is defined filling in the ranges between the semitones of the equal tempered scale in a compatible way. This scale corresponds to the note numbers for whole semitones. (see [http://www.midi.org/about-midi/tuning.shtml microtuning in MIDI]).
 

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