"प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन": अवतरणों में अंतर
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[[गणित]] में [[त्रिकोणमितीय फलन|त्रिकोणमितीय फलनों]] के [[प्रतिलोम फलन|प्रतिलोम फलनों]] को '''प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन''' (inverse trigonometric functions) कहते हैं। इनके [[डोमेन]] समुचित रूप से सीमित करके पारिभाषित किये गये हैं। |
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इन्हें sin<sup> |
इन्हें sin<sup>−1</sup>, cos<sup>−1</sup> आदि के रूप में निरूपित करते हैं और 'साइन इन्वर्स' , 'कॉस इन्वर्स' आदि बोलते हैं। |
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* <math>\operatorname{arcsin}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{sin}\ y = x</math> |
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* <math>\operatorname{arcctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}</math> |
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==मुख्य मान== |
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चूँकि कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी (one-to-one) नहीं है, इनके प्रतिलोम फलन तभी सम्भव होंगे यदि इनके डोमेन सीमित रखे जांय। |
चूँकि कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी (one-to-one) नहीं है, इनके प्रतिलोम फलन तभी सम्भव होंगे यदि इनके डोमेन सीमित रखे जांय। |
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| 0 < ''y'' < π || 0° < ''y'' < 180° |
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| '''arcsecant''' || ''y'' = arcsec ''x'' || ''x'' = [[Trigonometric functions#Reciprocal functions|sec]] ''y'' || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || 0 ≤ ''y'' < π/2 or π/2 < ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' < 90° or 90° < ''y'' ≤ 180° |
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| '''arccosecant''' || ''y'' = arccsc ''x'' || ''x'' = [[cosecant|csc]] ''y'' || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || −π/2 ≤ ''y'' < 0 or 0 < ''y'' ≤ π/2 || -90° ≤ ''y'' < 0° or 0° < ''y'' ≤ 90° |
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यदि ''x'' को [[समिश्र संख्या]] होने की छूट हो तो ''y'' का रेंज केवल इसके वास्तविक भाग (real part) पर ही लागू होगा। |
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==प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में सम्बन्ध== |
== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में सम्बन्ध == |
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[[चित्र:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|The usual principal values of the arcsin(''x'') (red) and arccos(''x'') (blue) functions graphed on the cartesian plane.]] |
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[[चित्र:Arctangent Arccotangent.svg|294px|right|thumb|The usual principal values of the arctan(''x'') and arccot(''x'') functions graphed on the cartesian plane.]] |
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[[चित्र:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|right|thumb|Principal values of the arcsec(''x'') and arccsc(''x'') functions graphed on the cartesian plane.]] |
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Complementary angles: |
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:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math> |
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==त्रिकोणमितीय फलनों एवं प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में संबन्ध== |
== त्रिकोणमितीय फलनों एवं प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में संबन्ध == |
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:<math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math> |
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:<math>\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math> |
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==सामान्य हल (General solutions) == |
== सामान्य हल (General solutions) == |
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निम्नलिखित में ''k'' कोई [[पूर्णांक]] है। |
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:<math>\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi</math> |
:<math>\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi</math> |
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:<math>\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi</math> |
:<math>\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi</math> |
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==बाहरी कड़ियाँ== |
== बाहरी कड़ियाँ == |
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[[श्रेणी:त्रिकोणमिति]] |
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[[de:Arkusfunktion]] |
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[[en:Inverse trigonometric functions]] |
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21:38, 3 जून 2012 का अवतरण
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गणित में त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric functions) कहते हैं। इनके डोमेन समुचित रूप से सीमित करके पारिभाषित किये गये हैं। इन्हें sin−1, cos−1 आदि के रूप में निरूपित करते हैं और 'साइन इन्वर्स' , 'कॉस इन्वर्स' आदि बोलते हैं।
- होगा, यदि
- होगा, यदि
- होगा, यदि
- होगा, यदि
- होगा, यदि
- होगा, यदि
उदाहरण:
मुख्य मान
चूँकि कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी (one-to-one) नहीं है, इनके प्रतिलोम फलन तभी सम्भव होंगे यदि इनके डोमेन सीमित रखे जांय।
निम्नांकित सारणी में मुख्य प्रतिलोमों का विवरण दिया गया है-
नाम | सामान्य निरूपण | परिभाषा | वास्तविक परिणाम के लिये x का डोमेन | मुख्य मानों का परास (रेंज) (रेडियन) |
मुख्य मानों का परास (डिग्री) |
---|---|---|---|---|---|
arcsine | y = arcsin x | x = sin y | −1 ≤ x ≤ 1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 | −90° ≤ y ≤ 90° |
arccosine | y = arccos x | x = cos y | −1 ≤ x ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π | 0° ≤ y ≤ 180° |
arctangent | y = arctan x | x = tan y | all real numbers | −π/2 < y < π/2 | −90° < y < 90° |
arccotangent | y = arccot x | x = cot y | all real numbers | 0 < y < π | 0° < y < 180° |
arcsecant | y = arcsec x | x = sec y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π | 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180° |
arccosecant | y = arccsc x | x = csc y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 | -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90° |
यदि x को समिश्र संख्या होने की छूट हो तो y का रेंज केवल इसके वास्तविक भाग (real part) पर ही लागू होगा।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में सम्बन्ध
Complementary angles:
Negative arguments:
Reciprocal arguments:
If you only have a fragment of a sine table:
Whenever the square root of a complex number is used here, we choose the root with the positive real part (or positive imaginary part if the square was negative real).
From the half-angle formula , we get:
त्रिकोणमितीय फलनों एवं प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में संबन्ध
सामान्य हल (General solutions)
निम्नलिखित में k कोई पूर्णांक है।