पूर्ण वर्ग बनाना

आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c\,\!$ को $a(x-h)^{2}+k\,$ के रूप में बदलने को पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square) कहते हैं। यहाँ h तथा k का मान x से स्वतंत्र है।

उपयोग

गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-

• वर्ग समीकरण के हल में
• द्विपद फलनों के आरेखण (graphing) में
• कैलकुलस में समाकल (integral) निकालने में
• लाप्लास रूपान्तर (finding [[Laplace transforms) प्राप्त करने में

उदाहरण

${\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right)-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}.\end{aligned}}$

सामान्य सूत्र (जनरल फॉर्मूला)

यदि a धनात्मक हो तो,

$ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e,\,\!$

जहाँ,

${\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}$

अर्थात् -

$ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}\,x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}.\,\!$

इन्हें भी देखें

• श्रीधराचार्य
• वर्ग समीकरण