पूर्ण वर्ग बनाना

आरम्भिक बीजगणित में द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c\,\!$ को $a(x-h)^{2}+k\,$ के रूप में बदलने को पूर्ण वर्ग बनाना (Completing the square) कहते हैं। यहाँ h तथा k का मान x से स्वतंत्र है।

उपयोग

गणित में निम्नलिखित स्थितियों में 'पूर्ण वर्ग' बनाने से काम बन जाता है-

• वर्ग समीकरण के हल में
• द्विपद फलनों के आरेखण (graphing) में
• कैलकुलस में समाकल (integral) निकालने में
• लाप्लास रूपान्तर (finding [[Laplace transforms) प्राप्त करने में

उदाहरण

${\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right)-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}.\end{aligned}}$

उपरोक्त परिणाम (पूर्ण वर्ग) का उपयोग करते हुए नीचे वर्ग समीकरण पार्स नहीं कर पाये (सिन्टैक्स त्रुटि): {\displaystyle 5x^2 + 7x - 6 &{}= 0 } हल करनेकी विधि बताई गयी है-

पार्स नहीं कर पाये (अज्ञात फंक्शन '\begin{align}'): {\displaystyle \begin{align} 5x^2 + 7x - 6 &{}= 0\\ 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20} &{}= 0\\ \left(x + {7 \over 10}\right)^2 &{}= {169 \over 100}\\ &{}= \left({13 \over 10}\right)^2\\ x + {7 \over 10} &{}= \pm {13 \over 10}\\ x &{}= {-7 \pm 13 \over 10}\\ &{}= {3 \over 5} तथा -2. \end{align}}

इन्हें भी देखें

• श्रीधराचार्य
• वर्ग समीकरण