लजान्द्र रूपान्तर

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लजान्द्र रूपान्तर की ज्यामितीय व्याख्या

गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है।

जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा

उदाहरण के लिये, फलन तथा फलन एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं।

एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

उपयोग[संपादित करें]

उदाहरण[संपादित करें]

प्रथम उदाहरण[संपादित करें]

Let f(x) = cx2 defined on R, where c > 0 is a fixed constant.

For x* fixed, the function x*xf(x) = x*xcx2 of x has the first derivative x* – 2cx and second derivative −2c; there is one stationary point at x = x*/2c, which is always a maximum. Thus, I* = R and


Clearly,

namely f ** = f.

द्वितीय उदाहरण[संपादित करें]

Let f(x) = x2 for xI = [2, 3].

For x* fixed, x*xf(x) is continuous on I compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that I* = R. The stationary point at x = x*/2 is in the domain [2, 3] if and only if 4 ≤ x* ≤ 6, otherwise the maximum is taken either at x = 2, or x = 3. It follows that

.

तृतीय उदाहरण[संपादित करें]

The function f(x) = cx is convex, for every x (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly x*xf(x) = (x* − c)x is never bounded from above as a function of x, unless x* − c = 0. Hence f* is defined on I* = {c} and f*(c) = 0.

One may check involutivity: of course x*xf*(x*) is always bounded as a function of x* ∈ {c}, hence I ** = R. Then, for all x one has

and hence f **(x) = cx = f(x).

चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर)[संपादित करें]

Let

be defined on X = Rn, where A is a real, positive definite matrix. Then f is convex, and

has gradient p − 2Ax and Hessian −2A, which is negative; hence the stationary point x = A−1p/2 is a maximum. We have X* = Rn, and

.

गुण[संपादित करें]

शर्तें
,
,
लैम्बर्ट का W फलन

इन्हें भी देखें[संपादित करें]