लजांड्र बहुपद

गणित में लजांड्र अवकल समीकरण का हल लजांड्र बहुपद (Legendre functions) कहलाता है। लजांड्र अवकल समीकरण निम्नलिखित है-

{d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.

यह नाम फ्रान्स के प्रसिद्ध गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre ; १७५२ - १८३३) के नाम पर पड़ा है । यह अवकल समीकरण भौतिकी एवं प्रौद्योगिकी में बार-बार देखने को मिलता है। विशेष रूप से, लाप्लास समीकरण को गोलीय निर्देशांक में हल करते समय यह समीकरण प्राप्त होता है।

लजान्द्र बहुपद, बहुपदों का एक सम्पूर्ण एवं आर्थोगोनल प्रणाली है। इनके अनेक गुण हैं और अनेकानेक उपयोग हैं।

लजान्द्र बहुपद के उदाहरण[संपादित करें]

n	$P_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,$
3	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,$
4	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
5	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
6	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
7	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
8	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
9	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
10	${\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$